Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
5. f(x) = 1/(4+x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta quer saber se a função é contínua em toda a reta real. Isso está ligado ao estudo de funções contínuas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e analisar esta função específica.

Passo 2

Primeiro, o que é uma função contínua? Simplificando, uma função é contínua no seu domínio se não tem “saltos”, “buracos” ou “quebras”. Ou seja, você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel. Matemáticamente, a função é contínua em um ponto se:
Isso significa que o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa é uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. Nesse caso, o numerador é 1 (um polinômio constante) e o denominador é .

Passo 4

Para que uma função racional seja contínua, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Vamos ver quando :
Não existe número real que quadrado seja negativo, então nunca é zero para nenhum valor real de . Isso significa que a função está definida para todos os números reais.

Passo 5

Como é uma função racional definida para todo real e não tem interrupções, podemos afirmar que ela é contínua em toda a reta real. Não tem nenhum ponto onde a função “quebra” ou fica indefinida.

Resposta

A função é contínua em toda a reta real.

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