Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta quer saber se a função
é contínua em toda a reta real. Isso está ligado ao estudo de funções contínuas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e analisar esta função específica.
Passo 2
Primeiro, o que é uma função contínua? Simplificando, uma função é contínua no seu domínio se não tem “saltos”, “buracos” ou “quebras”. Ou seja, você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel. Matemáticamente, a função
é contínua em um ponto
se:
Isso significa que o limite quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Essa é uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. Nesse caso, o numerador é 1 (um polinômio constante) e o denominador é
.
Passo 4
Para que uma função racional seja contínua, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Vamos ver quando
:
Não existe número real que quadrado seja negativo, então
nunca é zero para nenhum valor real de
. Isso significa que a função
está definida para todos os números reais.
Passo 5
Como
é uma função racional definida para todo
real e não tem interrupções, podemos afirmar que ela é contínua em toda a reta real. Não tem nenhum ponto onde a função “quebra” ou fica indefinida.
Resposta
A função
é contínua em toda a reta real.