Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de f sujeita a restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
© f(x, y, z) = 2 * x + y - 2 * z,
x^2 + y^2 + z^2 = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar os valores máximo e mínimo da função com a restrição de que . Isso está dentro do campo das multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a otimizar (maximizar ou minimizar) uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto de máximo ou mínimo, o gradiente da nossa função deve ser paralelo ao gradiente da restrição . Matematicamente, isso significa:
Onde é o multiplicador de Lagrange que vamos determinar.

Passo 3

Vamos calcular os gradientes das funções. O gradiente de é:
E o gradiente de é:

Passo 4

De acordo com a condição dos multiplicadores de Lagrange, temos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas equações para , e em termos de :
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):

Passo 6

Agora, vamos usar a restrição para encontrar o valor de . Substituindo , e :
Simplificando:
Portanto, ou .

Passo 7

Vamos agora considerar os dois casos para :
Caso 1:
Então, o ponto é .
Caso 2:
Então, o ponto é .

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores de nesses pontos para identificar qual é o máximo e qual é o mínimo.
Para :
Para :

Resposta

O valor máximo de é 6, ocorrendo no ponto . O valor mínimo de é -6, ocorrendo no ponto .

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