Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de
sujeita a restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar os valores máximo e mínimo da função
com a restrição de que
. Isso está dentro do campo das multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a otimizar (maximizar ou minimizar) uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto de máximo ou mínimo, o gradiente da nossa função
deve ser paralelo ao gradiente da restrição
. Matematicamente, isso significa:
Onde
é o multiplicador de Lagrange que vamos determinar.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes das funções. O gradiente de
é:
E o gradiente de
é:
Passo 4
De acordo com a condição dos multiplicadores de Lagrange, temos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas equações para
,
e
em termos de
:
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Passo 6
Agora, vamos usar a restrição
para encontrar o valor de
. Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Portanto,
ou
.
Passo 7
Vamos agora considerar os dois casos para
:
Caso 1:
Então, o ponto é
.
Caso 2:
Então, o ponto é
.
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores de
nesses pontos para identificar qual é o máximo e qual é o mínimo.
Para
:
Para
:
Resposta
O valor máximo de
é 6, ocorrendo no ponto
. O valor mínimo de
é -6, ocorrendo no ponto
.