Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a função
é homogênea e, se for, qual é o grau de homogeneidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função homogênea e como identificar seu grau.
Passo 2
Primeiro, o que é uma função homogênea? Simplesmente, uma função de duas variáveis
é chamada de homogênea de grau
se, ao multiplicar ambas as variáveis por um número
, a função resultar em
vezes a função original. Matematicamente, isso é escrito como:
Isso significa que a função tem uma certa “escala” quando todas as entradas são multiplicadas por um mesmo fator.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, vamos simplificar a função usando propriedades dos logaritmos:
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa função é homogênea. Para isso, substituímos
por
e
por
:
Passo 5
Vamos comparar
com
:
Para que a função seja homogênea, precisamos que:
Isso deve ser válido para todo
e para todas as
.
Passo 6
Observando as expressões, vemos que o lado esquerdo envolve termos de
, que não podem ser simplificados para obter um fator
independente de
e
. Isso significa que não existe um valor de
que satisfaça a igualdade para todos os
.
Resposta
A função
não é homogênea.