Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a função é homogênea e, se for, qual é o grau de homogeneidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função homogênea e como identificar seu grau.
Passo 2
Primeiro, o que é uma função homogênea? Simplesmente, uma função de duas variáveis é chamada de homogênea de grau se, ao multiplicar ambas as variáveis por um número , a função resultar em vezes a função original. Matematicamente, isso é escrito como:
Isso significa que a função tem uma certa “escala” quando todas as entradas são multiplicadas por um mesmo fator.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função . Primeiro, vamos simplificar a função usando propriedades dos logaritmos:
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa função é homogênea. Para isso, substituímos por e por :
Passo 5
Vamos comparar com :
Para que a função seja homogênea, precisamos que:
Isso deve ser válido para todo e para todas as .
Passo 6
Observando as expressões, vemos que o lado esquerdo envolve termos de , que não podem ser simplificados para obter um fator independente de e . Isso significa que não existe um valor de que satisfaça a igualdade para todos os .