Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais. integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^2 dado por F(x, y)=(1+cosh y, x sinh y) e a curva C é dada por sigma(t)=(sin t, 2 t / pi), 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. A gente tem um campo vetorial F(x, y) = (1 + cosh y,, x sinh y) e uma curva C parametrizada por sigma(t) = (sin t, 2tpi) no intervalo 0 <= t <= pi2. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo F é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a calcular a integral de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo F é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar f, ou seja, F = nabla f. Isso simplifica muito o cálculo da integral, porque podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que nos diz que:
integralC F cdot ds = f(Pfinal) - f(Pinicial)
Então, nosso primeiro passo é verificar se F é realmente conservativo.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, vamos calcular as derivadas parciais das componentes de F. Se o campo for conservativo, essas derivadas devem satisfazer a condição de igualdade cruzada.
Dado F(x, y) = (F1, F2) = (1 + cosh y,, x sinh y)
Calculamos:
partial F1partial y = partialpartial y(1 + cosh y) = sinh y
partial F2partial x = partialpartial x(x sinh y) = sinh y
Como partial F1partial y = partial F2partial x, o campo F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial f(x, y) tal que F = nabla f. Isso significa que:
partial fpartial x = F1 = 1 + cosh y
partial fpartial y = F2 = x sinh y
Vamos integrar partial fpartial x em relação a x para encontrar f(x, y).
Integrando 1 + cosh y em relação a x:
f(x, y) = integral (1 + cosh y), dx = x + x cosh y + g(y)
Onde g(y) é uma função de y que aparece na constante de integração.
Agora, vamos derivar f(x, y) em relação a y e igualar a partial fpartial y para encontrar g(y).
partial fpartial y = x sinh y + g'(y) = x sinh y
Isso implica que g'(y) = 0, então g(y) é constante. Podemos considerar essa constante como zero, já que ela se cancelará na diferença final.
Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = x + x cosh y

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Precisamos identificar os pontos inicial e final da curva C. A curva é dada por sigma(t) = (sin t, 2tpi) no intervalo 0 <= t <= pi2.
Então:
  • Quando t = 0:
    sigma(0) = (sin 0, 2 cdot 0pi) = (0, 0)
    Então, Pinicial = (0, 0).
  • Quando t = pi2:
    sigma(pi2) = (sin pi2, 2 cdot pi2pi) = (1, 1)
    Então, Pfinal = (1, 1).

Passo 6

Com a função potencial f(x, y) = x + x cosh y e os pontos inicial e final identificados, vamos calcular f(Pfinal) - f(Pinicial).
Calculando em Pfinal = (1, 1):
f(1, 1) = 1 + 1 cdot cosh 1 = 1 + cosh 1
Calculando em Pinicial = (0, 0):
f(0, 0) = 0 + 0 cdot cosh 0 = 0
Então:
f(Pfinal) - f(Pinicial) = (1 + cosh 1) - 0 = 1 + cosh 1

Resposta

A integral de linha é 1 + cosh 1.

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