Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. A gente tem um campo vetorial
e uma curva
parametrizada por
no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo
é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a calcular a integral de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar
, ou seja,
. Isso simplifica muito o cálculo da integral, porque podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que nos diz que:
Então, nosso primeiro passo é verificar se
é realmente conservativo.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, vamos calcular as derivadas parciais das componentes de
. Se o campo for conservativo, essas derivadas devem satisfazer a condição de igualdade cruzada.
Dado
Calculamos:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que aparece na constante de integração.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
.
Isso implica que
, então
é constante. Podemos considerar essa constante como zero, já que ela se cancelará na diferença final.
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Precisamos identificar os pontos inicial e final da curva
. A curva é dada por
no intervalo
.
Então:
-
Quando
: Então,. -
Quando
: Então,.
Passo 6
Com a função potencial
e os pontos inicial e final identificados, vamos calcular
.
Calculando em
:
Calculando em
:
Então:
Resposta
A integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, determine o vetor
em termos dos vetores
e
.
(a) .
(b) .
(a)
(b)
Nos itens abaixo, determine se os vetores são paralelos.
(a) e
.
(b) e
.
(a)
(b)
Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso.
Encontrar a série de Laurent da função
em anel
.