Determine a função derivada de , pela definição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Isso está ligado ao cálculo diferencial, especificamente à definição de derivada que envolve limites. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função no ponto . A derivada, denotada por , é o limite:
Isso basicamente mede a taxa de variação de em relação a num ponto específico.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à função . Primeiro, vamos calcular :

Passo 4

Expandindo :
Então,

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da derivada:
Simplificando os termos:

Passo 6

Podemos fatorar no numerador:
Cancelando o :

Passo 7

Agora, como está tendendo a zero, as parcelas que contêm vão desaparecer:

Resposta

A derivada da função é .

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