Seja (2,1) um ponto crítico de f satisfazendo
0 < [f_xy(2,1)]^2 - f_xx(2,1) f_yy(2,1)
Em (2,1) f tem mínimo local, máximo local ou ponto de sela?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o problema está pedindo. A gente tem uma função e sabe que o ponto é um ponto crítico dela. Além disso, foi dado que:
Queremos descobrir se, nesse ponto crítico, a função tem um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar o teste da derivada segunda para funções de duas variáveis. Esse teste nos ajuda a classificar os pontos críticos analisando as segundas derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um ponto crítico. Um ponto é crítico se as primeiras derivadas parciais de em relação a e nesse ponto forem iguais a zero:
No nosso caso, é um ponto crítico, então:

Passo 3

Agora, para classificar o tipo de ponto crítico, usamos o determinante da Hessiana, que é calculado da seguinte forma:
Dependendo do valor de , temos:
  • Se e , então é um mínimo local.
  • Se e , então é um máximo local.
  • Se , então é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

No nosso exercício, foi dado que:
Podemos reescrever isso como:
Então, .

Passo 5

De acordo com o teste da derivada segunda, se , o ponto crítico é um ponto de sela. Isso significa que em uma direção a função tem um mínimo e, na direção perpendicular, tem um máximo.

Resposta

Em , tem um ponto de sela.

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