Seja
um ponto crítico de
satisfazendo
Em
tem mínimo local, máximo local ou ponto de sela?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o problema está pedindo. A gente tem uma função
e sabe que o ponto
é um ponto crítico dela. Além disso, foi dado que:
Queremos descobrir se, nesse ponto crítico, a função
tem um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar o teste da derivada segunda para funções de duas variáveis. Esse teste nos ajuda a classificar os pontos críticos analisando as segundas derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um ponto crítico. Um ponto
é crítico se as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
nesse ponto forem iguais a zero:
No nosso caso,
é um ponto crítico, então:
Passo 3
Agora, para classificar o tipo de ponto crítico, usamos o determinante da Hessiana, que é calculado da seguinte forma:
Dependendo do valor de
, temos:
- Se
e , então é um mínimo local. - Se
e , então é um máximo local. - Se
, então é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 4
No nosso exercício, foi dado que:
Podemos reescrever isso como:
Então,
.
Passo 5
De acordo com o teste da derivada segunda, se
, o ponto crítico
é um ponto de sela. Isso significa que em uma direção a função tem um mínimo e, na direção perpendicular, tem um máximo.
Resposta
Em
,
tem um ponto de sela.