Determine a função derivada das funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo é encontrar a função derivada dessa função. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, em especial a regra do quociente, além de saber como derivar funções trigonométricas como seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos:
- Numerador:
- Denominador:
A regra do quociente diz que se temos uma função
, sua derivada é
. Então, vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando a derivada do numerador :
Passo 4
Calculando a derivada do denominador
:
Primeiro, derivamos
. Usamos a regra da cadeia:
E a derivada de 1 é 0. Portanto:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão no numerador:
Lembrando que , substituindo:
Então, o numerador fica:
Passo 7
Portanto, a derivada simplificada é:
Resposta
A derivada da função é: