Determine a função derivada das funções: f(x) = sen(x) / (cos(x)^2 + 1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo é encontrar a função derivada dessa função. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, em especial a regra do quociente, além de saber como derivar funções trigonométricas como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:
A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada é . Então, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando a derivada do numerador :

Passo 4

Calculando a derivada do denominador :
Primeiro, derivamos . Usamos a regra da cadeia:
E a derivada de 1 é 0. Portanto:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando a expressão no numerador:
Lembrando que , substituindo:
Então, o numerador fica:

Passo 7

Portanto, a derivada simplificada é:

Resposta

A derivada da função é:

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