Sabendo que
cos 75^circ=raiz6-raiz24, sen 75^circ=raiz6+raiz24 etg 75^circ=2+raiz31
utilize a circunferência trigonométrica, para determinar o valor exato (com raiz e na forma fracionária) de seno, cosseno e tangente de 285^circ. (Dica: note que na circunferência trigonométrica que um arco de 285^circ faz um ângulo de 75^circ com o eixo horizontal)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores exatos de seno, cosseno e tangente de . Para isso, vamos usar a circunferência trigonométrica, que nos ajuda a relacionar ângulos e suas funções trigonométricas. Sabemos que está no quarto quadrante e faz um ângulo de com o eixo horizontal. Vamos precisar dos valores de seno, cosseno e tangente de , que já foram fornecidos no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser representado como . Isso nos ajuda a usar as propriedades das funções trigonométricas para ângulos no quarto quadrante.

Passo 3

Sabemos que, no quarto quadrante:
  • O cosseno é positivo.
  • O seno é negativo.
  • A tangente é negativa.
Isso porque, no quarto quadrante, o valor de (cosseno) é positivo e o valor de (seno) é negativo. A tangente é a razão entre seno e cosseno, então ela será negativa.

Passo 4

Agora, vamos usar essas propriedades para encontrar as funções trigonométricas de cos 285^circ &= cos (360^circ - 75^circ) = cos 75^circ sin 285^circ &= -sin (360^circ - 75^circ) = -sin 75^circ tan 285^circ &= sin 285^circcos 285^circ = -sin 75^circcos 75^circ = -tan 75^circ :

Passo 5

Agora, substituímos os valores de cos 285^circ &= raiz6 - raiz24 sin 285^circ &= -raiz6 + raiz24 tan 285^circ &= -(2 + raiz31) = -2 - raiz3 , e que foram fornecidos:

Resposta

Os valores exatos são:
sin 285^circ = -raiz6 + raiz24, cos 285^circ = raiz6 - raiz24, tan 285^circ = -2 - raiz3

Exercícios relacionados