Encontre partial z / partial u e partial z / partial v.
(d) z=arctan (x / y), x=u^2+v^2, y=u^2-v^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Estamos lidando com funções de várias variáveis, especificamente usando a função arco-tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e saber como derivar funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma das variáveis (por exemplo, ) mostra como muda quando apenas varia, mantendo as outras variáveis constantes.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar e . A regra da cadeia nos permite calcular a derivada composta dessas funções.

Passo 4

Começamos encontrando as derivadas de partial zpartial x = 11 + (xy)^2 cdot 1y = yx^2 + y^2 em relação a partial zpartial y = 11 + (xy)^2 cdot (-xy^2) = -xx^2 + y^2 e :

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas de x = u^2 + v^2 Rightarrow partial xpartial u = 2u e partial xpartial v = 2v e y = u^2 - v^2 Rightarrow partial ypartial u = 2u e partial ypartial v = -2v em relação a e :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u :
partial zpartial u = yx^2 + y^2 cdot 2u + (-xx^2 + y^2) cdot 2u = 2u(y - x)x^2 + y^2
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Fazendo o mesmo para partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v :
partial zpartial v = yx^2 + y^2 cdot 2v + (-xx^2 + y^2) cdot (-2v) = 2v(y + x)x^2 + y^2
Substituindo os valores:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 2u(y - x)x^2 + y^2
partial zpartial v = 2v(y + x)x^2 + y^2

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