Determine a função derivada das funções: n(x) = raiz(2 x) / (3 x + 10);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função . Aqui a gente vai trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente com a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções que têm frações e raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que é o mesmo que . Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, para derivar uma função que é uma fração, usamos a regra do quociente. Essa regra diz que se você tem uma função , a derivada é:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular . Como , aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é , então:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Essa é uma função polinomial simples, e sua derivada é:

Passo 6

Com as derivadas de e prontas, vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Para unir as frações, colocamos sobre o denominador comum :

Passo 8

Então, a derivada completa fica:

Resposta

A derivada da função é:

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