Determine a função derivada das funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função
. Aqui a gente vai trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente com a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções que têm frações e raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora, para derivar uma função que é uma fração, usamos a regra do quociente. Essa regra diz que se você tem uma função
, a derivada é:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos calcular
. Como
, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, então:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Essa é uma função polinomial simples, e sua derivada é:
Passo 6
Com as derivadas de
e
prontas, vamos aplicar a regra do quociente:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Para unir as frações, colocamos sobre o denominador comum
:
Passo 8
Então, a derivada completa fica:
Resposta
A derivada da função
é:
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Determine a função derivada das funções:
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;
Sejam
e
duas funções tais que: a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
tem equação
; a reta tangente ao gráfico de
no ponto
passa também pelo ponto
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.