Determine a função derivada das funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a função derivada de
. Isso está relacionado à Derivada de funções racionais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente e conhecer a derivada da cosecante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Aqui, temos uma fração onde o numerador é
e o denominador é
.
Passo 3
Vamos identificar as partes da função para aplicar a Regra do Quociente, que diz:
No nosso caso:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
.
Primeiro, a derivada de
:
Sabemos que a derivada de
é
. Então,
Passo 5
Em seguida, a derivada de
:
A derivada de
é
. Então,
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra do Quociente com as derivadas encontradas:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador:
Fatorando
:
Denominador:
Passo 8
Simplificando a fração:
Passo 9
Podemos simplificar ainda mais cancelando termos:
Passo 10
Finalmente, expressando de forma mais limpa:
Resposta
A derivada da função é: