Determine a função derivada das funções: p(x) = (pi * cossec(x)) / (3 * x^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a função derivada de . Isso está relacionado à Derivada de funções racionais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente e conhecer a derivada da cosecante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Aqui, temos uma fração onde o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Vamos identificar as partes da função para aplicar a Regra do Quociente, que diz:
No nosso caso:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e .
Primeiro, a derivada de :
Sabemos que a derivada de é . Então,

Passo 5

Em seguida, a derivada de :
A derivada de é . Então,

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra do Quociente com as derivadas encontradas:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador:
Fatorando :
Denominador:

Passo 8

Simplificando a fração:

Passo 9

Podemos simplificar ainda mais cancelando termos:

Passo 10

Finalmente, expressando de forma mais limpa:

Resposta

A derivada da função é:

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