Sejam e duas funções tais que: a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa tem equação ; a reta tangente ao gráfico de no ponto passa também pelo ponto . Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre retas tangentes a gráficos de funções e envolve derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Vamos precisar entender como encontrar a derivada de uma função no ponto específico e depois aplicar a regra do produto para encontrar a derivada da função . No final, vamos determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta tangente ao gráfico de no ponto onde . A equação dessa reta é . Sabemos que a derivada da função no ponto representa o coeficiente angular dessa reta tangente. Então, temos:
Além disso, podemos encontrar o valor de substituindo na equação da reta:

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta tangente ao gráfico de no ponto . Sabemos que essa reta também passa pelo ponto . Para encontrar o coeficiente angular da reta, usamos a fórmula da inclinação:
Portanto, a derivada de no ponto é:

Passo 4

Agora que temos , , e , vamos encontrar a derivada da função no ponto . Usamos a regra do produto para derivadas:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa é:

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Determine a função derivada das funções: ;
Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo .
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