Sejam
e
duas funções tais que: a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
tem equação
; a reta tangente ao gráfico de
no ponto
passa também pelo ponto
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre retas tangentes a gráficos de funções e envolve derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Vamos precisar entender como encontrar a derivada de uma função no ponto específico e depois aplicar a regra do produto para encontrar a derivada da função
. No final, vamos determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta tangente ao gráfico de
no ponto onde
. A equação dessa reta é
. Sabemos que a derivada da função
no ponto
representa o coeficiente angular dessa reta tangente. Então, temos:
Além disso, podemos encontrar o valor de
substituindo
na equação da reta:
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Sabemos que essa reta também passa pelo ponto
. Para encontrar o coeficiente angular da reta, usamos a fórmula da inclinação:
Portanto, a derivada de
no ponto
é:
Passo 4
Agora que temos
,
, e
, vamos encontrar a derivada da função
no ponto
. Usamos a regra do produto para derivadas:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
é:
Exercícios relacionados
Determine a função derivada das funções:
;
Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo
.
Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo
.