Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que para todo usando o Teorema do Valor Médio. Então, vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e como aplicá-lo a essa função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado e derivável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Isso nos dá uma relação entre a derivada da função e os valores da função nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função . Queremos mostrar que . Vamos escolher um intervalo adequado para aplicar o teorema. Vamos considerar o intervalo , onde é qualquer número real.

Passo 4

Primeiro, verificamos se a função atende às condições do Teorema do Valor Médio:
  • Continua em : sim, a função exponencial é contínua em todo lugar.
  • Derivável em : sim, a função possui derivada em todo lugar.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Médio no intervalo , existe um ponto em tal que:
Sabendo que , temos:

Passo 6

Calculamos a derivada de :
Então, no ponto :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Como e para todo , temos que:
Isso porque é positivo, portanto, é menor ou igual a quando é positivo.

Resposta

Portanto, usando o Teorema do Valor Médio, mostramos que para todo .

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Sejam e duas funções tais que: a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa tem equação ; a reta tangente ao gráfico de no ponto passa também pelo ponto . Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa .
Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo .
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
: