Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que
para todo
usando o Teorema do Valor Médio. Então, vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e como aplicá-lo a essa função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função
é contínua em um intervalo fechado
e derivável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Isso nos dá uma relação entre a derivada da função e os valores da função nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função
. Queremos mostrar que
. Vamos escolher um intervalo adequado para aplicar o teorema. Vamos considerar o intervalo
, onde
é qualquer número real.
Passo 4
Primeiro, verificamos se a função
atende às condições do Teorema do Valor Médio:
- Continua em
: sim, a função exponencial é contínua em todo lugar. - Derivável em
: sim, a função possui derivada em todo lugar.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Médio no intervalo
, existe um ponto
em
tal que:
Sabendo que
, temos:
Passo 6
Calculamos a derivada de
:
Então, no ponto
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Como
e
para todo
, temos que:
Isso porque
é positivo, portanto,
é menor ou igual a
quando
é positivo.
Resposta
Portanto, usando o Teorema do Valor Médio, mostramos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
duas funções tais que: a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
tem equação
; a reta tangente ao gráfico de
no ponto
passa também pelo ponto
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Mostre as seguintes desigualdades usando o Teorema do Valor Médio:
para todo
.
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
: