Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência
partindo do ponto e retornando a este ponto apenas uma vez. Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo da circunferência , começando e terminando no ponto . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green diz. Ele afirma que para um campo vetorial fechado por uma curva positivamente orientada, temos:
Aqui, representa a integral de linha ao redor da curva , e é a integral dupla sobre a região delimitada por .

Passo 3

Vamos identificar e do nosso campo :
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
A região é o interior da circunferência . Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde e , e .

Passo 5

Convertendo a integral para coordenadas polares:
Simplificando:
Calculando as integrais em e depois em , e resolvendo todas as contas, chegamos ao resultado final de .

Resposta

O trabalho realizado pelo campo é .

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g)
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d)
Determine a função que expressa o volume do cone em função de sua geratriz e do raio da base .