Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência
partindo do ponto
e retornando a este ponto apenas uma vez. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força
ao mover uma partícula ao longo da circunferência
, começando e terminando no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green diz. Ele afirma que para um campo vetorial
fechado por uma curva
positivamente orientada, temos:
Aqui,
representa a integral de linha ao redor da curva
, e
é a integral dupla sobre a região
delimitada por
.
Passo 3
Vamos identificar
e
do nosso campo
:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
A região
é o interior da circunferência
. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
, e
.
Passo 5
Convertendo a integral para coordenadas polares:
Simplificando:
Calculando as integrais em
e depois em
, e resolvendo todas as contas, chegamos ao resultado final de
.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo é
.
Exercícios relacionados
Calcule os números a seguir, sem uso de calculadora:
g)
g)
Calcule o ângulo entre os dois vetores
onde
e
são vetores unitários ortogonais.
Sabendo que
e
, determine:
d)
d)
Determine a função que expressa o volume do cone em função de sua geratriz
e do raio da base
.