Determine se a função é contínua no número dado. Calcule e , se existirem, e determine se é derivável em .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve continuidade e derivabilidade de funções. O objetivo é verificar se a função é contínua no ponto , calcular as derivadas laterais e , e determinar se é derivável nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, continuidade e derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, precisamos analisar os limites à esquerda e à direita de , além do valor da função em .

Passo 3

Calculando o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
A função para é . Portanto,

Passo 4

Calculando o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
A função para é . Portanto,

Passo 5

Agora, verificamos o valor da função em :

Passo 6

Como os limites à esquerda e à direita são iguais e iguais ao valor da função em , concluímos que é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos calcular as derivadas laterais e .
Primeiro, a derivada à esquerda :
Para , . A derivada é:
Portanto,

Passo 8

Agora, a derivada à direita :
Para , . Podemos reescrever como . A derivada é:
Calculando o limite quando :
Aqui, tende ao infinito positivo quando se aproxima de 2 pela direita. Portanto,

Passo 9

Finalmente, para determinar se é derivável em , precisamos que as derivadas laterais existam e sejam iguais.
Neste caso:
Como as derivadas laterais não são iguais (uma é finita e a outra é infinita), não é derivável em .

Resposta

A função é contínua em . As derivadas laterais são e . Como elas não são iguais, não é derivável em .

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Calcule os seguintes limites: O que significa dizer que ?
Se é um número real tal que , calcule o valor de
Encontre a derivada da função dada.
(b)
Seja tal que . Encontre o valor de .