Determine se a função
é contínua no número
dado. Calcule
e
, se existirem, e determine se
é derivável em
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve continuidade e derivabilidade de funções. O objetivo é verificar se a função
é contínua no ponto
, calcular as derivadas laterais
e
, e determinar se
é derivável nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, continuidade e derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua no ponto
. Para isso, precisamos analisar os limites à esquerda e à direita de
, além do valor da função em
.
Passo 3
Calculando o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
):
A função para
é
. Portanto,
Passo 4
Calculando o limite quando
se aproxima de 2 pela direita (
):
A função para
é
. Portanto,
Passo 5
Agora, verificamos o valor da função em
:
Passo 6
Como os limites à esquerda e à direita são iguais e iguais ao valor da função em
, concluímos que
é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos calcular as derivadas laterais
e
.
Primeiro, a derivada à esquerda
:
Para
,
. A derivada é:
Portanto,
Passo 8
Agora, a derivada à direita
:
Para
,
. Podemos reescrever como
. A derivada é:
Calculando o limite quando
:
Aqui,
tende ao infinito positivo quando
se aproxima de 2 pela direita. Portanto,
Passo 9
Finalmente, para determinar se
é derivável em
, precisamos que as derivadas laterais existam e sejam iguais.
Neste caso:
Como as derivadas laterais não são iguais (uma é finita e a outra é infinita),
não é derivável em
.
Resposta
A função
é contínua em
. As derivadas laterais são
e
. Como elas não são iguais,
não é derivável em
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites: O que significa dizer que
?
Se
é um número real tal que
, calcule o valor de
Encontre a derivada da função dada.
(b)
(b)
Seja
tal que
. Encontre o valor de
.