Seja x em R+* tal que x^2 + 1/x^2 = 7. Encontre o valor de x^3 + 1/x^3.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema nos dá que é um número real positivo e que . Nosso objetivo é descobrir o valor de . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especialmente fórmulas que relacionam potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar uma expressão que envolva . Sabemos que:
Isso significa que:
Já sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos resolver para :
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

Passo 4

Com o valor de encontrado, podemos agora encontrar . Para isso, usamos a seguinte fórmula:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Substituindo o valor que encontramos para :

Resposta

O valor de é 18.

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