Determine uma função f diferenciável, positiva e tal que integral0^x f(t) d t=[f(x)]^2 para todo x in R+.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função que seja diferenciável e positiva, e que satisfaça a equação para todo positivo. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar os dois lados da equação em relação a ddx ( integral0^x f(t) , dt ) = ddx ( [f(x)]^2 ) . Lembrando que a derivada da integral de f(x) = 2f(x)f'(x) a de é simplesmente . Do outro lado, usamos a regra da cadeia para derivar , que fica .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação. Se 1 = 2f'(x) é positiva (como foi dado), podemos dividir os dois lados por f'(x) = 12 :

Passo 4

Então, sabemos que a derivada de f(x) = integral f'(x) , dx = integral 12 , dx = 12x + C é . Para encontrar , vamos integrar :

Passo 5

Agora temos que encontrar a constante integral0^x f(t) , dt = [f(x)]^2 . Vamos usar a condição original da equação. Sabemos que:
integral0^x ( 12t + C ) dt = ( 12x + C )^2
Substituindo [ 14x^2 + Cx ] = 14x^2 + Cx + C^2 :
Para que a igualdade seja verdadeira para todo , o termo deve ser zero, ou seja, .

Resposta

A função procurada é .

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