Determine uma função
diferenciável, positiva e tal que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função
que seja diferenciável e positiva, e que satisfaça a equação
para todo
positivo. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar os dois lados da equação em relação a
. Lembrando que a derivada da integral de
a
de
é simplesmente
. Do outro lado, usamos a regra da cadeia para derivar
, que fica
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação. Se
é positiva (como foi dado), podemos dividir os dois lados por
:
Passo 4
Então, sabemos que a derivada de
é
. Para encontrar
, vamos integrar
:
Passo 5
Agora temos que encontrar a constante
. Vamos usar a condição original da equação. Sabemos que:
Substituindo
:
Para que a igualdade seja verdadeira para todo
, o termo
deve ser zero, ou seja,
.
Resposta
A função procurada é
.
Exercícios relacionados
Encontre uma função
contínua, positiva e tal que a área da região situada sob o seu gráfico e entre as retas
e
seja igual a
, para todo
.
Seja
uma função contínua e defina uma nova função
por
. Calcule o valor de
, sabendo que
.
Seja
definida por
. Verifique se
existe.