Determine uma função diferenciável, positiva e tal que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função que seja diferenciável e positiva, e que satisfaça a equação para todo positivo. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar os dois lados da equação em relação a . Lembrando que a derivada da integral de a de é simplesmente . Do outro lado, usamos a regra da cadeia para derivar , que fica .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação. Se é positiva (como foi dado), podemos dividir os dois lados por :

Passo 4

Então, sabemos que a derivada de é . Para encontrar , vamos integrar :

Passo 5

Agora temos que encontrar a constante . Vamos usar a condição original da equação. Sabemos que:
Substituindo :
Para que a igualdade seja verdadeira para todo , o termo deve ser zero, ou seja, .

Resposta

A função procurada é .

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Encontre uma função contínua, positiva e tal que a área da região situada sob o seu gráfico e entre as retas e seja igual a , para todo .
Seja uma função contínua e defina uma nova função por . Calcule o valor de , sabendo que .
Seja definida por . Verifique se existe.