Seja definida por . Verifique se existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a integral de no intervalo de 0 a 1 existe. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais impróprias, já que o ponto pode causar problemas na função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa função é definida no intervalo porque quando se aproxima de 1, o denominador se aproxima de zero, fazendo com que cresça sem limite. Isso indica que temos uma singularidade em , tornando a integral possivelmente imprópria.

Passo 3

Para verificar se a integral existe, precisamos calcular o limite da integral conforme se aproxima de 1. Ou seja, vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos integrar . Sabemos que a integral dessa função é a função arcoseno, ou seja:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a :
Sabemos que , então fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite conforme se aproxima de 1:

Resposta

Sim, a integral existe e seu valor é .

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Seja uma função contínua e defina uma nova função por . Calcule o valor de , sabendo que .
Determine uma função diferenciável, positiva e tal que para todo .
(ENADE) Considere uma função com derivada contínua e a função definida por para todo .
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo .
II A função é derivável e sua derivada é a função .
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por milhares de metros cúbicos, onde é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.