Seja
definida por
. Verifique se
existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a integral de
no intervalo de 0 a 1 existe. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais impróprias, já que o ponto
pode causar problemas na função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa função é definida no intervalo
porque quando
se aproxima de 1, o denominador
se aproxima de zero, fazendo com que
cresça sem limite. Isso indica que temos uma singularidade em
, tornando a integral possivelmente imprópria.
Passo 3
Para verificar se a integral existe, precisamos calcular o limite da integral conforme
se aproxima de 1. Ou seja, vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos integrar
. Sabemos que a integral dessa função é a função arcoseno, ou seja:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Sabemos que
, então fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite conforme
se aproxima de 1:
Resposta
Sim, a integral
existe e seu valor é
.