Seja
definida por
. Verifique se
existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a integral de
no intervalo de 0 a 1 existe. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais impróprias, já que o ponto
pode causar problemas na função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa função é definida no intervalo
porque quando
se aproxima de 1, o denominador
se aproxima de zero, fazendo com que
cresça sem limite. Isso indica que temos uma singularidade em
, tornando a integral possivelmente imprópria.
Passo 3
Para verificar se a integral existe, precisamos calcular o limite da integral conforme
se aproxima de 1. Ou seja, vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos integrar
. Sabemos que a integral dessa função é a função arcoseno, ou seja:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Sabemos que
, então fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite conforme
se aproxima de 1:
Resposta
Sim, a integral
existe e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função contínua e defina uma nova função
por
. Calcule o valor de
, sabendo que
.
Determine uma função
diferenciável, positiva e tal que
para todo
.
(ENADE) Considere
uma função com derivada
contínua e
a função definida por
para todo
.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo
.
II A função é derivável e sua derivada é a função
.
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função
II A função
III A função diferença
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por
milhares de metros cúbicos, onde
é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.