Seja f:[0,1) R definida por f(x)=1raiz1-x^2. Verifique se integral0^1 f(x) d x existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a integral de no intervalo de 0 a 1 existe. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais impróprias, já que o ponto pode causar problemas na função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa função é definida no intervalo porque quando se aproxima de 1, o denominador se aproxima de zero, fazendo com que cresça sem limite. Isso indica que temos uma singularidade em , tornando a integral possivelmente imprópria.

Passo 3

Para verificar se a integral existe, precisamos calcular o limite da integral conforme limb to 1^- integral0^b 1raiz1 - x^2 , dx se aproxima de 1. Ou seja, vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral 1raiz1 - x^2 , dx = arcsin(x) + C . Sabemos que a integral dessa função é a função arcoseno, ou seja:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a integral0^b 1raiz1 - x^2 , dx = arcsin(b) - arcsin(0) :
arcsin(b)
Sabemos que , então fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite conforme limb to 1^- arcsin(b) = arcsin(1) = pi2 se aproxima de 1:

Resposta

Sim, a integral existe e seu valor é .

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