Seja f: R R uma função contínua e defina uma nova função g: R R por g(x)=integralx^3^x^5 f(t) d t. Calcule o valor de g^prime(1), sabendo que f(1)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre cálculo, mais especificamente sobre derivadas de funções definidas por integrais. A gente precisa calcular a derivada da função no ponto , sabendo que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante do cálculo chamada Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de integrais com limites variáveis. Se temos uma função definida por g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a derivada depende dos valores da função nos limites superior e inferior, multiplicados pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso problema, onde g'(x) = f(x^5) cdot ddx(x^5) - f(x^3) cdot ddx(x^3) e ddx(x^5) = 5x^4 e ddx(x^3) = 3x^2 , temos:
g'(x) = f(x^5) cdot 5x^4 - f(x^3) cdot 3x^2
Calculando as derivadas dos limites:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos encontrar g'(1) = f(1^5) cdot 5(1)^4 - f(1^3) cdot 3(1)^2 . Vamos substituir g'(1) = f(1) cdot 5 - f(1) cdot 3 na expressão que encontramos:
g'(1) = 2 cdot 5 - 2 cdot 3 = 10 - 6 = 4
Simplificando os cálculos:
Sabemos que , então:

Resposta

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