Seja
uma função contínua e defina uma nova função
por
. Calcule o valor de
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre cálculo, mais especificamente sobre derivadas de funções definidas por integrais. A gente precisa calcular a derivada da função
no ponto
, sabendo que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante do cálculo chamada Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de integrais com limites variáveis. Se temos uma função definida por
, então a derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que a derivada depende dos valores da função
nos limites superior e inferior, multiplicados pelas derivadas desses limites.
Passo 3
Aplicando essa regra ao nosso problema, onde
e
, temos:
Calculando as derivadas dos limites:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Vamos substituir
na expressão que encontramos:
Simplificando os cálculos:
Sabemos que
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine uma função
diferenciável, positiva e tal que
para todo
.
Encontre uma função
contínua, positiva e tal que a área da região situada sob o seu gráfico e entre as retas
e
seja igual a
, para todo
.
Seja
definida por
. Verifique se
existe.
(ENADE) Considere
uma função com derivada
contínua e
a função definida por
para todo
.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo
.
II A função é derivável e sua derivada é a função
.
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função
II A função
III A função diferença
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.