Seja uma função contínua e defina uma nova função por . Calcule o valor de , sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está falando sobre cálculo, mais especificamente sobre derivadas de funções definidas por integrais. A gente precisa calcular a derivada da função no ponto , sabendo que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante do cálculo chamada Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de integrais com limites variáveis. Se temos uma função definida por , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a derivada depende dos valores da função nos limites superior e inferior, multiplicados pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso problema, onde e , temos:
Calculando as derivadas dos limites:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos encontrar . Vamos substituir na expressão que encontramos:
Simplificando os cálculos:
Sabemos que , então:

Resposta

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Determine uma função diferenciável, positiva e tal que para todo .
Encontre uma função contínua, positiva e tal que a área da região situada sob o seu gráfico e entre as retas e seja igual a , para todo .
Seja definida por . Verifique se existe.
(ENADE) Considere uma função com derivada contínua e a função definida por para todo .
Nessas condições avalie as afirmações que seguem.
I A função é integrável em todo intervalo .
II A função é derivável e sua derivada é a função .
III A função diferença é uma função constante.
É correto o que se afirma em
(a) I, apenas.
(b) II, apenas.
© I e III, apenas.
(d) II e III, apenas.
(e) I, II e III.
Justifique sua resposta.