Encontre uma função f contínua, positiva e tal que a área da região situada sob o seu gráfico e entre as retas x = 0 e x = t seja igual a A(t)=t^3, para todo t > 0.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função que seja contínua e positiva. Além disso, a área sob o gráfico dessa função entre as retas e deve ser igual a para todo . Basicamente, estamos lidando com conceitos de cálculo, especificamente com integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a área sob o gráfico de entre e é dada pela integral definida:
A questão nos diz que essa área é igual a .

Passo 3

Para encontrar a função , precisamos relacionar a área com a função. Sabemos que a derivada de em relação a nos dá a função . Isso porque, pela definição de derivada:
Então, vamos derivar em relação a .

Passo 4

Calculando a derivada de :
Portanto, a função que atende às condições da questão é .

Resposta

A função procurada é .

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