Determine uma função que é contínua em dois pontos apenas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é encontrar uma função que seja contínua apenas em dois pontos específicos. Isso está relacionado ao estudo das funções contínuas, que basicamente não apresentam “quebras” ou “saltos” no seu gráfico, mas queremos que essa função tenha continuidade somente em dois lugares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como construir uma função que satisfaça essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor de . Ou seja:
Isso significa que não há “saltos” ou “buracos” na função nesse ponto.
Passo 3
Agora, precisamos criar uma função que não seja contínua na maioria dos pontos, mas que seja contínua exatamente em dois pontos. Uma maneira de fazer isso é definir a função de forma que ela tenha valores diferentes (ou comportamentos diferentes) em pontos específicos, criando descontinuidades.
Passo 4
Vamos construir uma função que seja contínua em e , mas descontinua em todos os outros pontos. Podemos fazer isso definindo a função de forma personalizada nesses dois pontos e de outra forma no restante do domínio. Por exemplo:
Passo 5
Vamos verificar se essa função atende à condição de ser contínua apenas em e .
Em e :
Para ,
Mas . Para que seja contínua, precisamos que .
O mesmo vale para : .
Passo 6
Percebi que a função anterior só seria contínua se , o que não atende ao requisito de ser contínua em dois pontos distintos. Vamos ajustar a definição da função para que ela possa ser contínua em dois pontos diferentes.
Passo 7
Vamos definir a função da seguinte maneira:
Agora, vamos verificar a continuidade nos pontos e .
Passo 8
Em :
E . Para ser contínua, precisamos que .
Em :
E . Para ser contínua, precisamos que .
Passo 9
Percebemos que, novamente, a função só seria contínua se , o que não nos dá dois pontos distintos. Para resolver isso, vamos adotar uma abordagem diferente: definir a função de forma que ela seja contínua em apenas dois pontos específicos, sem depender de e .
Passo 10
Vamos definir:
Essa é a famosa Função de Dirichlet, que é descontínua em todos os pontos do domínio. Mas queremos uma função que seja contínua em dois pontos. Então, vamos ajustar essa ideia.
Passo 11
Vamos considerar uma função que seja igual a zero em todos os pontos, exceto em dois pontos onde ela assume valores específicos. Por exemplo:
Passo 12
Vamos analisar a continuidade:
Em :
E . Como , há descontinuidade.
Em :
E . Também há descontinuidade.
Passo 13
Parece que estamos enfrentando dificuldades para definir uma função que seja contínua apenas em dois pontos usando essa abordagem. Uma alternativa é considerar funções que são contínuas em intervalos específicos e criar “saltos” fora desses intervalos.
Passo 14
Vamos definir:
Mas essa função não está bem definida em todo o domínio . Precisamos de uma função que seja definida para todo , mas seja contínua apenas em dois pontos.
Passo 15
Vamos tentar outra estratégia. Definimos a função como sendo igual a zero em todos os pontos, exceto em e , onde ela assume valores que coincidem com o limite. Assim:
Mas essa função é constante e, portanto, contínua em todos os pontos, o que não atende ao requisito.
Passo 16
Finalmente, a melhor abordagem é definir uma função que, em um ponto, seja contínua por ser derivada de funções contínuas locais. Por exemplo, podemos usar funções com limites iguais em apenas dois pontos.
Vamos definir:
Isso ainda não resolve, então vamos adotar uma função que seja igual a apenas em dois pontos e descontinua em outros.
Passo 17
Acabei de perceber que uma função que seja contínua em dois pontos específicos pode ser definida de forma que, em todos os outros pontos, ela apresente descontinuidades removíveis ou saltos. Por exemplo:
á
Aqui, a função é definida como em e , e tem descontinuidades nos demais pontos devido aos termos e .
Resposta
Uma função contínua em apenas dois pontos é definida por:
á
Essa função é contínua apenas nos pontos e , e apresenta descontinuidades em todos os demais pontos do domínio.