Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que cada equação a seguir possui ao menos uma raiz no intervalo dado. Observe que NÃO é para encontrar a raiz ou raízes.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Isso significa que a gente vai precisar entender um pouco sobre o comportamento da função nesse intervalo e aplicar o teorema certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa função. Seja
. Queremos mostrar que existe um valor de
entre 1 e 3 onde
, ou seja, onde a função cruza o eixo x.
Passo 3
O Teorema do Valor Médio (ou mais precisamente, o Teorema do Valor Intermediário) diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e toma valores de sinais opostos nos extremos, então existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade da nossa função. Como
é uma combinação de funções contínuas (lineares e exponenciais), ela também é contínua em todo o intervalo
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
para ver os sinais:
-
(positivo) -
(negativo)
Passo 6
Como
é positivo e
é negativo, e a função é contínua no intervalo
, pelo Teorema do Valor Intermediário (que é uma aplicação do Teorema do Valor Médio), existe pelo menos um ponto
em
onde
.
Resposta
Portanto, a equação
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.
Exercícios relacionados
Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade das funções a seguir:
d)
d)
Determine uma função
que é contínua em dois pontos apenas.
Encontre as derivadas das seguintes funções
b)
b)
Encontre as derivadas das seguintes funções
h)
h)