Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que cada equação a seguir possui ao menos uma raiz no intervalo dado. Observe que NÃO é para encontrar a raiz ou raízes.
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo . Isso significa que a gente vai precisar entender um pouco sobre o comportamento da função nesse intervalo e aplicar o teorema certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa função. Seja . Queremos mostrar que existe um valor de entre 1 e 3 onde , ou seja, onde a função cruza o eixo x.

Passo 3

O Teorema do Valor Médio (ou mais precisamente, o Teorema do Valor Intermediário) diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado e toma valores de sinais opostos nos extremos, então existe pelo menos um em tal que .

Passo 4

Vamos verificar a continuidade da nossa função. Como é uma combinação de funções contínuas (lineares e exponenciais), ela também é contínua em todo o intervalo .

Passo 5

Agora, vamos calcular e para ver os sinais:
  • (positivo)
  • (negativo)

Passo 6

Como é positivo e é negativo, e a função é contínua no intervalo , pelo Teorema do Valor Intermediário (que é uma aplicação do Teorema do Valor Médio), existe pelo menos um ponto em onde .

Resposta

Portanto, a equação possui pelo menos uma raiz no intervalo .

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Determine o(s) ponto(s) de descontinuidade das funções a seguir:
d)
Determine uma função que é contínua em dois pontos apenas.
Encontre as derivadas das seguintes funções
b)
Encontre as derivadas das seguintes funções
h)