Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que cada equação a seguir possui ao menos uma raiz no intervalo dado. Observe que NÃO é para encontrar a raiz ou raízes.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Isso significa que existe pelo menos um valor de
entre 0 e 4 que satisfaz essa equação. Para resolver, vamos analisar a função envolvida e aplicar o teorema apropriadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função
. Queremos mostrar que existe um
em
tal que
.
Passo 3
O Teorema do Valor Médio nos diz que, se uma função é contínua em um intervalo fechado
e assume valores de sinais opostos em
e
, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade de
no intervalo
. A função
é composta por
, que é contínua em todo lugar, e
, que também é contínua onde
. No intervalo
,
varia de 2 a 22, então a função está contínua nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 6
Observamos que
e
. Como
é negativo e
é positivo, a função
muda de sinal no intervalo
.
Passo 7
De acordo com o Teorema do Valor Médio, como
é contínua no intervalo
e muda de sinal, deve existir pelo menos um valor de
nesse intervalo tal que
.
Resposta
Portanto, a equação
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.
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c)
c)
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c)
c)
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e)
e)