Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que cada equação a seguir possui ao menos uma raiz no intervalo dado. Observe que NÃO é para encontrar a raiz ou raízes.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo . Isso significa que existe pelo menos um valor de entre 0 e 4 que satisfaz essa equação. Para resolver, vamos analisar a função envolvida e aplicar o teorema apropriadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função . Queremos mostrar que existe um em tal que .

Passo 3

O Teorema do Valor Médio nos diz que, se uma função é contínua em um intervalo fechado e assume valores de sinais opostos em e , então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Vamos verificar a continuidade de no intervalo . A função é composta por , que é contínua em todo lugar, e , que também é contínua onde . No intervalo , varia de 2 a 22, então a função está contínua nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos calcular e :

Passo 6

Observamos que e . Como é negativo e é positivo, a função muda de sinal no intervalo .

Passo 7

De acordo com o Teorema do Valor Médio, como é contínua no intervalo e muda de sinal, deve existir pelo menos um valor de nesse intervalo tal que .

Resposta

Portanto, a equação possui pelo menos uma raiz no intervalo .

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