Encontre os valores de
para os quais
satisfaz a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
que fazem com que
seja uma solução da equação diferencial
. Aqui estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos substituir a forma assumida de
na equação e encontrar os valores de
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
. A derivada primeira
é:
E a derivada segunda
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos fatorar
na equação:
Como
nunca é zero, podemos dividir ambos os lados da equação por
:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática em
:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 6
Calculando o discriminante (
):
Como
, teremos duas soluções reais distintas para
.
Passo 7
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculando as duas possibilidades:
Resposta
Os valores de
são
e
.