Encontre os valores de lambda para os quais y = e^(lambda x) satisfaz a equação y'' + 2y' - 15y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de que fazem com que seja uma solução da equação diferencial . Aqui estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos substituir a forma assumida de na equação e encontrar os valores de que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de . A derivada primeira é:
E a derivada segunda é:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 4

Vamos fatorar na equação:
Como nunca é zero, podemos dividir ambos os lados da equação por :

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática em :
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 6

Calculando o discriminante ( ):
Como , teremos duas soluções reais distintas para .

Passo 7

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculando as duas possibilidades:

Resposta

Os valores de são e .

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