Mostre como encontrar a soluções geral das equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Aqui a gente vai usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Isso significa substituir
por
,
por
e
por 1 na equação original:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
. Substituindo:
Então, temos dois valores de
:
Passo 4
Com os valores de
encontrados (
e
), a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição inicial
. Primeiro, precisamos derivar a solução geral:
Substituindo
:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 7
Agora temos um sistema de equações para resolver:
Podemos resolver subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
. Calcule o ângulo entre os vetores
e
.
Determine se a função
é contínua em
. Justifique.
Considere as funções vetoriais
Calcule
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
(d)
(d)