Mostre como encontrar a soluções geral das equações diferenciais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Aqui a gente vai usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Isso significa substituir por , por e por 1 na equação original:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde , e . Substituindo:
Então, temos dois valores de :

Passo 4

Com os valores de encontrados ( e ), a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial . Substituindo na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
çã

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda condição inicial . Primeiro, precisamos derivar a solução geral:
Substituindo :
Isso nos dá a segunda equação:
çã

Passo 7

Agora temos um sistema de equações para resolver:
Podemos resolver subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

Exercícios relacionados

Dados os vetores e . Calcule o ângulo entre os vetores e .
Determine se a função
é contínua em . Justifique.
Considere as funções vetoriais
Calcule .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
(d)