Determine se a função
é contínua em
para algum valor de
. Justifique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de
e uma relação entre
e
, se for o caso.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente dependendo se o ponto
é igual a
ou não. Queremos saber se essa função é contínua em
para algum valor específico de
. Para resolver isso, vamos analisar o limite da função quando
se aproxima de
e ver qual valor de
faz com que o limite seja igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão da função quando
:
Observando o denominador, podemos reescrevê-lo como:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja
e
. Assim, o ponto
se aproxima de
quando
se aproxima de
. A função fica:
Passo 4
Vamos analisar o limite dessa função para diferentes caminhos de aproximação:
-
Caminho onde
(isto é, ): -
Caminho onde
(isto é, ): -
Caminho onde
(isto é, ):
Em todos os caminhos testados, o limite da função é 0.
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
é 0, para que a função seja contínua nesse ponto, o valor de
também deve ser 0. Ou seja, devemos ter
.
Resposta
A função
é contínua em
se e somente se
.
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