Determine se a função f(x, y)=ll5 x^2(y-2)x^2+y^2-4 y+4, & se (x, y) neq(0,2) b, & se (x, y)=(0,2) é contínua em (0,2) para algum valor de b in R. Justifique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de b e uma relação entre varepsilon e de, se for o caso.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente dependendo se o ponto é igual a ou não. Queremos saber se essa função é contínua em para algum valor específico de . Para resolver isso, vamos analisar o limite da função quando se aproxima de e ver qual valor de faz com que o limite seja igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão da função quando f(x, y) = 5x^2(y-2)x^2 + y^2 - 4y + 4 :
x^2 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + (y - 2)^2
Observando o denominador, podemos reescrevê-lo como:
f(x, y) = 5x^2(y-2)x^2 + (y - 2)^2
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(h, k) = 5h^2kh^2 + k^2 quando se aproxima de . Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja e . Assim, o ponto se aproxima de quando se aproxima de . A função fica:

Passo 4

Vamos analisar o limite dessa função para diferentes caminhos de aproximação:
  1. Caminho onde f(h, 0) = 5h^2 cdot 0h^2 + 0 = 0 (isto é, f(h, h) = 5h^2 cdot hh^2 + h^2 = 5h^32h^2 = 52h 0 quando h 0 ):
    f(h, h^2) = 5h^2 cdot h^2h^2 + h^4 = 5h^4h^2(1 + h^2) = 5h^21 + h^2 0 quando h 0
  2. Caminho onde (isto é, ):
  3. Caminho onde (isto é, ):
Em todos os caminhos testados, o limite da função é 0.

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de é 0, para que a função seja contínua nesse ponto, o valor de também deve ser 0. Ou seja, devemos ter .

Resposta

A função é contínua em se e somente se .

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