Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma função potencial para um campo vetorial conservativo. Isso faz parte do estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como integrar as componentes do campo para encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Isso significa que:
Então, vamos começar integrando a componente
em relação a
para encontrar
.
Passo 3
A componente
do campo dado é:
Vamos integrar
em relação a
:
Para integrar isso, vamos usar a substituição u = xy. Então,
, o que implica
.
Passo 4
Aplicando a substituição:
Integrando termo a termo:
Então:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar à componente
:
Mas sabemos que:
Então:
Isso implica que
, logo
é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero.
Resposta
A função potencial é:
onde
é uma constante.