Mostre que
integralC(x+3 y+y^1 0) d x+(3 x+10 x y^9+ln (1+y^2)) d y
é independente do caminho. Em seguida, calcule esta integral para C:(x-1)^2+y^24=1 com y >= 0, no sentido horário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma integral de linha:
integralC(x + 3y + y^10) dx + (3x + 10xy^9 + ln(1 + y^2)) dy
Precisamos mostrar que essa integral é independente do caminho, ou seja, que é uma integral de um campo conservativo. Depois, vamos calcular essa integral para a curva com , no sentido horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Para mostrar que a integral é independente do caminho, precisamos verificar se o campo vetorial F = nabla f é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial partial fpartial x = P e partial fpartial y = Q tal que:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Isso implica que:
Além disso, para campos em duas dimensões, uma condição necessária e suficiente para que o campo seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas satisfaçam:

Passo 3

Vamos identificar P = x + 3y + y^10 Q = 3x + 10xy^9 + ln(1 + y^2) e partial Ppartial y = 3 + 10y^9 partial Qpartial x = 3 + 10y^9 na nossa integral:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Como o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final do caminho. Porém, como a curva ointC F cdot dr = 0 é uma curva fechada ( retorna ao ponto de partida), a integral ao longo de será zero:
Isso porque, em um campo conservativo, a integral em um caminho fechado é sempre zero.

Passo 5

Mesmo que o caminho seja percorrido no sentido horário ou anti-horário, a integral de um campo conservativo sobre um caminho fechado continua sendo zero. Portanto, para a curva dada ointC (x + 3y + y^10) dx + (3x + 10xy^9 + ln(1 + y^2)) dy = 0 com , no sentido horário, a integral é:

Resposta

A integral é independente do caminho e seu valor para a curva dada é zero.

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