Mostre que
é independente do caminho. Em seguida, calcule esta integral para
com
, no sentido horário.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma integral de linha:
Precisamos mostrar que essa integral é independente do caminho, ou seja, que é uma integral de um campo conservativo. Depois, vamos calcular essa integral para a curva
com
, no sentido horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Para mostrar que a integral é independente do caminho, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial
tal que:
Isso implica que:
Além disso, para campos em duas dimensões, uma condição necessária e suficiente para que o campo seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas satisfaçam:
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa integral:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Como o campo é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final do caminho. Porém, como a curva
é uma curva fechada (
retorna ao ponto de partida), a integral ao longo de
será zero:
Isso porque, em um campo conservativo, a integral em um caminho fechado é sempre zero.
Passo 5
Mesmo que o caminho seja percorrido no sentido horário ou anti-horário, a integral de um campo conservativo sobre um caminho fechado continua sendo zero. Portanto, para a curva dada
com
, no sentido horário, a integral é:
Resposta
A integral é independente do caminho e seu valor para a curva
dada é zero.