Determine uma função potencial para cada campo gradiente
dado e calcule
onde
é qualquer caminho
por partes do ponto
até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me colocou um exercício que pede para a gente encontrar uma função potencial para um campo gradiente
e calcular a integral de
ao longo de qualquer caminho
que vai do ponto
até o ponto
. O que isso significa? Basicamente, estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com campos conservativos e integrais de linha. Vamos precisar entender o que é um campo gradiente e como encontrar sua função potencial para seguir em frente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo gradiente. Um campo vetorial
é chamado de campo gradiente se existem funções
tais que
. Essa
é chamada de função potencial de
. A vantagem de ter uma função potencial é que a integral de
ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho em si. Isso simplifica bastante os cálculos!
Passo 3
Agora, como encontrar a função potencial
? Sabemos que
, ou seja:
Então, para cada componente de
, devemos integrar em relação à variável correspondente para encontrar
.
Passo 4
Depois de encontrar
, a integral de
ao longo do caminho
de
para
é simplesmente:
Isso acontece porque
sendo um campo conservativo faz com que a integral seja independente do caminho escolhido.
Passo 5
Vamos agora aplicar isso ao nosso problema. Como
é um campo gradiente, suponhamos que já temos sua função potencial
. Então, para calcular a integral, basta avaliar
nos pontos
e
e subtrair:
Resposta
A integral de
ao longo do caminho
de
até
é igual a
.