Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado e calcule integralC F cdot d r onde C é qualquer caminho C^1 por partes do ponto A=(0,0, pi2) até o ponto B=(1,1, pi2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me colocou um exercício que pede para a gente encontrar uma função potencial para um campo gradiente e calcular a integral de ao longo de qualquer caminho que vai do ponto até o ponto . O que isso significa? Basicamente, estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com campos conservativos e integrais de linha. Vamos precisar entender o que é um campo gradiente e como encontrar sua função potencial para seguir em frente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo gradiente. Um campo vetorial é chamado de campo gradiente se existem funções tais que . Essa é chamada de função potencial de . A vantagem de ter uma função potencial é que a integral de ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho em si. Isso simplifica bastante os cálculos!

Passo 3

Agora, como encontrar a função potencial F = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z ) ? Sabemos que , ou seja:
Então, para cada componente de , devemos integrar em relação à variável correspondente para encontrar .

Passo 4

Depois de encontrar integralC F cdot dr = phi(B) - phi(A) , a integral de ao longo do caminho de para é simplesmente:
Isso acontece porque sendo um campo conservativo faz com que a integral seja independente do caminho escolhido.

Passo 5

Vamos agora aplicar isso ao nosso problema. Como integralC F cdot dr = phi(1,1,pi2) - phi(0,0,pi2) é um campo gradiente, suponhamos que já temos sua função potencial . Então, para calcular a integral, basta avaliar nos pontos e e subtrair:

Resposta

A integral de ao longo do caminho de até é igual a .

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