Resolva a equação diferencial da forma y'' = f(x).
c) y'' = e^x - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, especificamente das equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar integrar a equação duas vezes para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Basicamente, ela relaciona uma função com suas derivadas. No nosso caso, temos a segunda derivada de , que é , igual a . Para encontrar , precisamos integrar essa expressão.

Passo 3

Vamos começar integrando a equação uma vez para encontrar a primeira derivada . A integração de em relação a nos dá:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
Aqui, e são constantes de integração. Podemos simplificar isso para:
onde é uma constante qualquer.

Passo 5

Agora, vamos integrar novamente para encontrar . Integramos em relação a :

Passo 6

Calculando cada termo:
Novamente, , e são constantes de integração que podem ser combinadas em uma única constante .

Passo 7

Juntando tudo, temos:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes de integração.

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