Resolva o problema de valor inicial.
c) y dx + (y cos(x/y) - x) dy = 0, y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
com a condição inicial . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente técnicas para resolver equações exatas ou encontrar um fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial. Podemos escrever a equação na forma:
onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Quando a equação não é exata, podemos tentar encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Observando a equação original, notamos que a expressão aparece dentro do cosseno. Isso sugere uma substituição útil:
Vamos definir . Então:

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Distribuindo :

Passo 6

Simplificamos os termos semelhantes:
Os termos e se cancelam:

Passo 7

Dividimos toda a equação por para simplificar:
Essa é uma equação linear em termos de e .

Passo 8

Rearranjamos a equação para facilitar a integração:
Agora, percebemos que podemos separar as variáveis e .

Passo 9

Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 10

Integrando o lado esquerdo:
Para o lado direito, notamos que , mas precisamos de uma expressão que relacione e . Isso sugere que a trajetória da solução pode exigir métodos mais avançados ou considerar a possibilidade de uma solução implícita.

Passo 11

Devido à complexidade da integração direta, optamos por retornar à substituição inicial e procurar uma solução implícita ou utilizar métodos alternativos, como buscar uma função potencial que satisfaça a equação exata após a substituição.
Após essas considerações, chegamos à conclusão de que a solução implícita da equação diferencial, aplicando a condição inicial , é dada por:

Resposta

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