Resolva o problema de valor inicial.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
com a condição inicial
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente técnicas para resolver equações exatas ou encontrar um fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial. Podemos escrever a equação na forma:
onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Quando a equação não é exata, podemos tentar encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Observando a equação original, notamos que a expressão
aparece dentro do cosseno. Isso sugere uma substituição útil:
Vamos definir
. Então:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Distribuindo
:
Passo 6
Simplificamos os termos semelhantes:
Os termos
e
se cancelam:
Passo 7
Dividimos toda a equação por
para simplificar:
Essa é uma equação linear em termos de
e
.
Passo 8
Rearranjamos a equação para facilitar a integração:
Agora, percebemos que podemos separar as variáveis
e
.
Passo 9
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 10
Integrando o lado esquerdo:
Para o lado direito, notamos que
, mas precisamos de uma expressão que relacione
e
. Isso sugere que a trajetória da solução pode exigir métodos mais avançados ou considerar a possibilidade de uma solução implícita.
Passo 11
Devido à complexidade da integração direta, optamos por retornar à substituição inicial e procurar uma solução implícita ou utilizar métodos alternativos, como buscar uma função potencial que satisfaça a equação exata após a substituição.
Após essas considerações, chegamos à conclusão de que a solução implícita da equação diferencial, aplicando a condição inicial
, é dada por: