Determine uma função potencial para cada campo gradiente
dado e calcule
onde
é qualquer caminho
por partes do ponto
até o ponto
indicados.
Passo 1
Beleza, então a gente tem aqui um exercício que pede para a gente encontrar uma função potencial para um campo gradiente
dado e depois calcular a integral de linha
. O conteúdo que vamos precisar envolve campos vetoriais, funções potenciais e cálculo de integrais de linha. Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo gradiente. Um campo vetorial
é chamado de campo gradiente se ele puder ser expresso como o gradiente de uma função escalar
, ou seja,
. Essa função
é chamada de função potencial de
.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
, a gente precisa integrar as componentes do campo
. Vamos supor que
. Então, temos:
Integrando a primeira equação em relação a
, encontramos
.
Passo 4
Após encontrar
, a integral de linha
pode ser calculada de forma mais simples. Já que
é um campo gradiente, a integral depende apenas dos valores da função potencial nos pontos inicial
e final
. Ou seja:
Isso significa que não precisamos nos preocupar com o caminho
escolhido, desde que seja suave e contínuo.
Passo 5
Vamos resumir os passos:
- Identificar as componentes do campo
. - Integrar
em relação a para encontrar . - Determinar se a derivada parcial de
em relação a coincide com . Se não, ajustar adicionando uma função de . - Calcular
para encontrar o valor da integral de linha.
Resposta
A função potencial é
encontrada ao integrar as componentes de
, e a integral de linha
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem, homogeneidade e a linearidade.
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