Determine uma função potencial para cada campo gradiente dado e calcule onde é qualquer caminho por partes do ponto até o ponto indicados.

Passo 1

Beleza, então a gente tem aqui um exercício que pede para a gente encontrar uma função potencial para um campo gradiente dado e depois calcular a integral de linha . O conteúdo que vamos precisar envolve campos vetoriais, funções potenciais e cálculo de integrais de linha. Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo gradiente. Um campo vetorial é chamado de campo gradiente se ele puder ser expresso como o gradiente de uma função escalar , ou seja, . Essa função é chamada de função potencial de .

Passo 3

Para encontrar a função potencial , a gente precisa integrar as componentes do campo . Vamos supor que . Então, temos:
Integrando a primeira equação em relação a , encontramos .

Passo 4

Após encontrar , a integral de linha pode ser calculada de forma mais simples. Já que é um campo gradiente, a integral depende apenas dos valores da função potencial nos pontos inicial e final . Ou seja:
Isso significa que não precisamos nos preocupar com o caminho escolhido, desde que seja suave e contínuo.

Passo 5

Vamos resumir os passos:
  1. Identificar as componentes do campo .
  2. Integrar em relação a para encontrar .
  3. Determinar se a derivada parcial de em relação a coincide com . Se não, ajustar adicionando uma função de .
  4. Calcular para encontrar o valor da integral de linha.

Resposta

A função potencial é encontrada ao integrar as componentes de , e a integral de linha é igual a .

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Calcule .
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem, homogeneidade e a linearidade.
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