Determine a função , tal que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função que satisfaz a condição inicial e cuja derivada em relação a é dada por:
Isso entra no assunto de equações diferenciais, onde a gente tem a derivada de uma função e queremos descobrir a função original. Para resolver isso, vamos integrar a expressão da derivada para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da derivada de forma mais simples:
Agora, para encontrar , precisamos integrar essa expressão em relação a .

Passo 3

Vamos integrar termo por termo:
  1. Integrar :
    • Sabemos que a integral de é .
    • Aplicando isso:
  2. Integrar :
    • A integral de é .
    • Aplicando isso:

Passo 4

Juntando as integrais calculadas:
Aqui, é a constante de integração que a gente precisa determinar usando a condição inicial .

Passo 5

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar :
Sabendo que e :

Resposta

A função que satisfaz as condições dadas é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas:
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: © .
4能 - . . Encontre .
Verifique, em cada situação, se as funções dadas são soluções da equação diferencial.