Determine a função
, tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função
que satisfaz a condição inicial
e cuja derivada em relação a
é dada por:
Isso entra no assunto de equações diferenciais, onde a gente tem a derivada de uma função e queremos descobrir a função original. Para resolver isso, vamos integrar a expressão da derivada para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão da derivada de forma mais simples:
Agora, para encontrar
, precisamos integrar essa expressão em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar termo por termo:
-
Integrar
: - Sabemos que a integral de
é . - Aplicando isso:
- Sabemos que a integral de
-
Integrar
: - A integral de
é . - Aplicando isso:
- A integral de
Passo 4
Juntando as integrais calculadas:
Aqui,
é a constante de integração que a gente precisa determinar usando a condição inicial
.
Passo 5
Vamos aplicar a condição inicial para encontrar
:
Sabendo que
e
:
Resposta
A função que satisfaz as condições dadas é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas:
Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: ©
.
4能 - . . Encontre
.
Verifique, em cada situação, se as funções dadas são soluções da equação diferencial.