Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: ©
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível da função
para os níveis
. Isso envolve entender um pouquinho de geometria analítica, especificamente sobre curvas de nível de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
que fazem a função
igual a uma constante
. Ou seja, queremos encontrar todas as combinações de
e
que satisfazem
.
Passo 3
Vamos igualar a função ao valor
:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Essa é a equação geral das nossas curvas de nível.
Passo 4
Observe que a equação
representa uma elipse. A equação padrão de uma elipse centrada na origem é:
Comparando com nossa equação, temos
e
. Então,
e
.
Passo 5
Agora, vamos esboçar as elipses para cada valor de
.
Para
:
A única solução é
e
. Então, a curva de nível é apenas o ponto
.
Passo 6
Para
:
Esta é uma elipse com semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
. Ou seja, se a gente desenhar, vai ter uma elipse mais alongada no eixo
.
Passo 7
Para
:
Simplificando, temos:
Aqui, a elipse tem semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
, ou seja, ainda mais alongada no eixo
.
Resposta
As curvas de nível da função
são:
- Para
: O ponto . - Para
: Uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal de comprimento 1 e semi-eixo vertical de comprimento 2. - Para
: Uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal de comprimento 2 e semi-eixo vertical de comprimento 4.
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Para as funções
abaixo determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento e assíntotas. Note que as derivadas já estão dadas.
;
Verifique que, se
é a reta que passa por
e
, então
Calcule as integrais indefinidas:
Determine a função
, tal que