Esboce as curvas (ou superfícies) de nível das funções abaixo nos níveis indicados: © .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar as curvas de nível da função para os níveis . Isso envolve entender um pouquinho de geometria analítica, especificamente sobre curvas de nível de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos que fazem a função igual a uma constante . Ou seja, queremos encontrar todas as combinações de e que satisfazem .

Passo 3

Vamos igualar a função ao valor :
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Essa é a equação geral das nossas curvas de nível.

Passo 4

Observe que a equação representa uma elipse. A equação padrão de uma elipse centrada na origem é:
Comparando com nossa equação, temos e . Então, e .

Passo 5

Agora, vamos esboçar as elipses para cada valor de .
Para :
A única solução é e . Então, a curva de nível é apenas o ponto .

Passo 6

Para :
Esta é uma elipse com semi-eixo horizontal e semi-eixo vertical . Ou seja, se a gente desenhar, vai ter uma elipse mais alongada no eixo .

Passo 7

Para :
Simplificando, temos:
Aqui, a elipse tem semi-eixo horizontal e semi-eixo vertical , ou seja, ainda mais alongada no eixo .

Resposta

As curvas de nível da função são:
  • Para : O ponto .
  • Para : Uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal de comprimento 1 e semi-eixo vertical de comprimento 2.
  • Para : Uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal de comprimento 2 e semi-eixo vertical de comprimento 4.

Exercícios relacionados

Para as funções abaixo determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento e assíntotas. Note que as derivadas já estão dadas.
;
Verifique que, se é a reta que passa por e , então
Calcule as integrais indefinidas:
Determine a função , tal que