Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
integral triplaE z d V
em que E é o sólido que está abaixo da semiesfera
z=raiz2-(x^2+y^2)
e acima do paraboloide
z=x^2+y^2

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o sólido que está abaixo da semiesfera e acima do paraboloide . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integral. Isso porque, em coordenadas cilíndricas, a descrição de superfícies como essa fica mais simples e a integração fica mais tranquila.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Lembra que em coordenadas cilíndricas, , e . Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

Agora, vamos reescrever as superfícies em coordenadas cilíndricas:
  • A semiesfera: vira .
  • O paraboloide: vira .

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração para , e .
  • varia de a porque estamos cobrindo todo o círculo.
  • Para , vamos encontrar onde as duas superfícies se encontram: . Elevando ao quadrado ambos os lados, temos , o que nos dá . Fazendo , a equação fica . Resolvendo, encontramos , então .
  • varia de (paraboloide) até (semiesfera).

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^raiz2 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em integralr^2^raiz2 - r^2 z cdot r , dz = r [ z^22 ]r^2^raiz2 - r^2 = r ( (raiz2 - r^2)^22 - (r^2)^22 ) primeiro. Integramos = r ( 2 - r^22 - r^42 ) = r ( 2 - r^2 - r^42 ) = r (2 - r^2 - r^4)2 de até :
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos em integral0^1 r (2 - r^2 - r^4)2 , dr = 12 integral0^1 (2r - r^3 - r^5) , dr de = 12 [ integral0^1 2r , dr - integral0^1 r^3 , dr - integral0^1 r^5 , dr ] a = 12 [ r^2 |0^1 - r^44 |0^1 - r^66 |0^1 ] = 12 ( 1 - 14 - 16 ) :
= 12 ( 1212 - 312 - 212 ) = 12 ( 712 ) = 724
Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
Simplificando:

Passo 8

Por fim, integramos em integral0^2pi 724 , dtheta = 724 cdot 2pi = 7pi12 de a :

Resposta

A integral tripla vale .

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