Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que é o sólido que está abaixo da semiesfera
e acima do paraboloide

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o sólido que está abaixo da semiesfera e acima do paraboloide . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integral. Isso porque, em coordenadas cilíndricas, a descrição de superfícies como essa fica mais simples e a integração fica mais tranquila.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Lembra que em coordenadas cilíndricas, , e . Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

Agora, vamos reescrever as superfícies em coordenadas cilíndricas:
  • A semiesfera: vira .
  • O paraboloide: vira .

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração para , e .
  • varia de a porque estamos cobrindo todo o círculo.
  • Para , vamos encontrar onde as duas superfícies se encontram: . Elevando ao quadrado ambos os lados, temos , o que nos dá . Fazendo , a equação fica . Resolvendo, encontramos , então .
  • varia de (paraboloide) até (semiesfera).

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro. Integramos de até :
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos em de a :
Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
Simplificando:

Passo 8

Por fim, integramos em de a :

Resposta

A integral tripla vale .

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em que é o sólido definido por:
Resp.: .