Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que é o sólido que está abaixo da semiesfera
e acima do paraboloide
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o sólido que está abaixo da semiesfera e acima do paraboloide . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integral. Isso porque, em coordenadas cilíndricas, a descrição de superfícies como essa fica mais simples e a integração fica mais tranquila.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Lembra que em coordenadas cilíndricas, , e . Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Passo 3
Agora, vamos reescrever as superfícies em coordenadas cilíndricas:
A semiesfera: vira .
O paraboloide: vira .
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração para , e .
varia de a porque estamos cobrindo todo o círculo.
Para , vamos encontrar onde as duas superfícies se encontram: . Elevando ao quadrado ambos os lados, temos , o que nos dá . Fazendo , a equação fica . Resolvendo, encontramos , então .
varia de (paraboloide) até (semiesfera).
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Vamos resolver a integral em primeiro. Integramos de até :