Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
© F(x, y, z)=(e^x sen y, e^y sen z, e^z sen x)

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial F(x, y, z)=(e^x sen y, e^y sen z, e^z sen x). Para isso, precisamos conhecer as definições de rotacional e divergente. O conteúdo que estamos abordando envolve campos vetoriais e cálculo vetorial.

Passo 2

Começando pelo divergente. O divergente de um campo vetorial F = (P, Q, R) é dado pela fórmula:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Identificando os componentes do nosso campo vetorial F:
  • P = e^x sen y
  • Q = e^y sen z
  • R = e^z sen x
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente.
  1. Para P:
    partial Ppartial x = partialpartial x(e^x sen y) = e^x sen y
    (Aqui, a função sen y se comporta como uma constante, já que estamos derivando em relação a x.)
  2. Para Q:
    partial Qpartial y = partialpartial y(e^y sen z) = e^y sen z
    (Novamente, sen z é tratado como constante durante a derivação.)
  3. Para R:
    partial Rpartial z = partialpartial z(e^z sen x) = e^z sen x
Agora, somamos tudo isso para encontrar o divergente:
nabla cdot F = e^x sen y + e^y sen z + e^z sen x

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional. O rotacional de um campo vetorial F = (P, Q, R) é dado pela fórmula:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y )
Vamos calcular cada um dos componentes:
  1. Primeiro componente:
    partial Rpartial y = partialpartial y(e^z sen x) = 0
    partial Qpartial z = partialpartial z(e^y sen z) = e^y cos z
    Portanto, o primeiro componente do rotacional é:
    partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0 - e^y cos z = -e^y cos z
  2. Segundo componente:
    partial Ppartial z = 0
    partial Rpartial x = partialpartial x(e^z sen x) = e^z cos x
    Portanto, o segundo componente do rotacional é:
    partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0 - e^z cos x = -e^z cos x
  3. Terceiro componente:
    partial Qpartial x = 0
    partial Ppartial y = e^x cos y
    Portanto, o terceiro componente do rotacional é:
    partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - e^x cos y = -e^x cos y
Juntando tudo, temos:
nabla times F = ( -e^y cos z, -e^z cos x, -e^x cos y )

Resposta

Divergente: nabla cdot F = e^x sen y + e^y sen z + e^z sen x
Rotacional: nabla times F = ( -e^y cos z, -e^z cos x, -e^x cos y )

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