Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
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Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial . Para isso, precisamos conhecer as definições de rotacional e divergente. O conteúdo que estamos abordando envolve campos vetoriais e cálculo vetorial.

Passo 2

Começando pelo divergente. O divergente de um campo vetorial é dado pela fórmula:
Identificando os componentes do nosso campo vetorial :
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente.
  1. Para :

    (Aqui, a função se comporta como uma constante, já que estamos derivando em relação a .)
  2. Para :

    (Novamente, é tratado como constante durante a derivação.)
  3. Para :
Agora, somamos tudo isso para encontrar o divergente:

Passo 3

Agora vamos calcular o rotacional. O rotacional de um campo vetorial é dado pela fórmula:
Vamos calcular cada um dos componentes:
  1. Primeiro componente:

    Portanto, o primeiro componente do rotacional é:
  2. Segundo componente:

    Portanto, o segundo componente do rotacional é:
  3. Terceiro componente:

    Portanto, o terceiro componente do rotacional é:
Juntando tudo, temos:

Resposta

Divergente:
Rotacional:

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