Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
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Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial
. Para isso, precisamos conhecer as definições de rotacional e divergente. O conteúdo que estamos abordando envolve campos vetoriais e cálculo vetorial.
Passo 2
Começando pelo divergente. O divergente de um campo vetorial
é dado pela fórmula:
Identificando os componentes do nosso campo vetorial
:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente.
-
Para
:
(Aqui, a funçãose comporta como uma constante, já que estamos derivando em relação a .) -
Para
:
(Novamente,é tratado como constante durante a derivação.) -
Para
:
Agora, somamos tudo isso para encontrar o divergente:
Passo 3
Agora vamos calcular o rotacional. O rotacional de um campo vetorial
é dado pela fórmula:
Vamos calcular cada um dos componentes:
-
Primeiro componente:
Portanto, o primeiro componente do rotacional é:
-
Segundo componente:
Portanto, o segundo componente do rotacional é:
-
Terceiro componente:
Portanto, o terceiro componente do rotacional é:
Juntando tudo, temos:
Resposta
Divergente:
Rotacional:
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e acima do retângulo
.
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funçōes no ponto indicado:
, em
.
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e pelo cilindro
. (Utilize uma ferramenta gráfica para estimar os ponlos de intersecção.
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tal que
e calcule
sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
(b) e
.
(b)