Determine uma função
tal que
e calcule
sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
©
e
.
©
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que está acontecendo. O exercício pede para determinarmos uma função
tal que
, onde
. Além disso, precisamos calcular a integral de linha
sobre a curva
parametrizada por
,
,
para
. Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos dá uma maneira mais fácil de calcular essa integral, desde que
seja o gradiente de uma função.
Passo 2
Para encontrar a função
tal que
, precisamos analisar a expressão que nos foi dada. O vetor
tem três componentes, e podemos identificar cada uma delas:
Vamos começar a encontrar
integrando a primeira equação com relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
, porque a integração em relação a
pode deixar algumas constantes que são funções de outras variáveis.
Agora, vamos calcular a derivada dessa função em relação a
para usar na segunda componente:
E sabemos que
. Assim, igualando as duas expressões:
Isso implica que
. Portanto,
é uma função que não depende de
, podemos chamá-la de
e integrar:
Agora, para a terceira componente, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
E sabemos que
. Igualando:
Assim, temos que
. Integrando
:
Portanto, a função
que queremos é:
Passo 3
Agora que temos a função
, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Esse teorema diz que se
, então a integral de linha de
ao longo da curva
pode ser calculada como
avaliado nos pontos finais da curva
.
Os limites da curva
são
e
:
-
Para
: Então, temos. -
-
Para
: Assim,. -
Agora, aplicando o teorema:
Resposta
Então, a integral de linha
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
, para
e
é o hemisfério
, de orientação ascendente.
Calcule:
(b) (0.5 PT.) Expressar em notac, ao de intervalo o conjunto
.