Determine uma função tal que e calcule sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
© e .

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que está acontecendo. O exercício pede para determinarmos uma função tal que , onde . Além disso, precisamos calcular a integral de linha sobre a curva parametrizada por , , para . Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos dá uma maneira mais fácil de calcular essa integral, desde que seja o gradiente de uma função.

Passo 2

Para encontrar a função tal que , precisamos analisar a expressão que nos foi dada. O vetor tem três componentes, e podemos identificar cada uma delas:
Vamos começar a encontrar integrando a primeira equação com relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e , porque a integração em relação a pode deixar algumas constantes que são funções de outras variáveis.
Agora, vamos calcular a derivada dessa função em relação a para usar na segunda componente:
E sabemos que . Assim, igualando as duas expressões:
Isso implica que . Portanto, é uma função que não depende de , podemos chamá-la de e integrar:
Agora, para a terceira componente, vamos calcular a derivada de em relação a :
E sabemos que . Igualando:
Assim, temos que . Integrando :
Portanto, a função que queremos é:

Passo 3

Agora que temos a função , podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Esse teorema diz que se , então a integral de linha de ao longo da curva pode ser calculada como avaliado nos pontos finais da curva .
Os limites da curva são e :
  1. Para :
    Então, temos .
  2. Para :
    Assim, .
Agora, aplicando o teorema:

Resposta

Então, a integral de linha .

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Use o Teorema de Stokes para calcular , para e é o hemisfério , de orientação ascendente.
Calcule:
(b) (0.5 PT.) Expressar em notac, ao de intervalo o conjunto .