Determine uma função f tal que nabla f=F e calcule integralC F cdot d r sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
© F(x, y, z)=(2 x z+y^2) i+2 x y j+(x^2+3 z^2) k e C: x=t^2, y=t+1, z=2 t-1,0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que está acontecendo. O exercício pede para determinarmos uma função tal que , onde . Além disso, precisamos calcular a integral de linha sobre a curva parametrizada por , , para . Vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos dá uma maneira mais fácil de calcular essa integral, desde que seja o gradiente de uma função.

Passo 2

Para encontrar a função f(x, y, z) = integral (2xz + y^2) , dx = x^2 z + y^2 x + g(y, z) tal que partial fpartial y = partialpartial y(x^2 z + y^2 x + g(y, z)) = 2yx + partial gpartial y , precisamos analisar a expressão que nos foi dada. O vetor 2yx + partial gpartial y = 2xy tem três componentes, e podemos identificar cada uma delas:
  1. partial fpartial z = partialpartial z(x^2 z + y^2 x + h(z)) = x^2 + dhdz
  2. x^2 + dhdz = x^2 + 3z^2
  3. h(z) = z^3 + C
Vamos começar a encontrar f(x, y, z) = x^2 z + y^2 x + z^3 + C integrando a primeira equação com relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e , porque a integração em relação a pode deixar algumas constantes que são funções de outras variáveis.
Agora, vamos calcular a derivada dessa função em relação a para usar na segunda componente:
E sabemos que . Assim, igualando as duas expressões:
Isso implica que . Portanto, é uma função que não depende de , podemos chamá-la de e integrar:
Agora, para a terceira componente, vamos calcular a derivada de em relação a :
E sabemos que . Igualando:
Assim, temos que . Integrando :
Portanto, a função que queremos é:

Passo 3

Agora que temos a função integralC F cdot dr = f(1, 2, 1) - f(0, 1, -1) = (6 + C) - (-1 + C) = 6 + C + 1 - C = 7 , podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Esse teorema diz que se , então a integral de linha de ao longo da curva pode ser calculada como avaliado nos pontos finais da curva .
Os limites da curva são e :
  1. Para :
    Então, temos .
  2. Para :
    Assim, .
Agora, aplicando o teorema:

Resposta

Então, a integral de linha .

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