integral y^3(2 y^2-3) d y

Passo 1

Vamos resolver a integral integral y^3(2 y^2-3) d y. Esse exercício envolve o cálculo de uma integral definida, que é um conteúdo de cálculo integral. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades básicas de integrais e como aplicar a regra da soma e a regra da potência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que está dentro da integral. Podemos distribuir y^3 para cada termo no parênteses:
y^3(2 y^2-3) = 2y^3 cdot y^2 - 3y^3 = 2y^5 - 3y^3
Agora a nossa integral fica assim:
integral (2y^5 - 3y^3) d y

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. Quando temos a integral de uma função na forma y^n, a regra é que o resultado vai ser y^n+1n+1 (desde que n neq -1).
Portanto, vamos aplicar isso aqui:
  1. Para a integral de 2y^5:
integral 2y^5 d y = 2 cdot y^5+15+1 = 2 cdot y^66 = 26y^6 = 13y^6
  1. Agora, para a integral de -3y^3:
integral -3y^3 d y = -3 cdot y^3+13+1 = -3 cdot y^44 = -34y^4

Passo 4

Agora, juntando todas as partes que integramos, temos:
integral (2y^5 - 3y^3) d y = 13y^6 - 34y^4 + C
Aqui, C é a constante de integração que devemos incluir sempre que fazemos uma integral indefinida.

Resposta

A resposta final da integral é:
13y^6 - 34y^4 + C

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