Determine uma função
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar uma função
tal que suas derivadas parciais sejam dadas. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos integrar as derivadas parciais fornecidas e garantir que elas sejam consistentes para formar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira derivada parcial em relação a
:
Para encontrar
, vamos integrar essa expressão em relação a
. A integração de uma derivada parcial em relação a
nos dá a função
mais uma “constante de integração” que pode depender de
.
Passo 3
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é a “constante de integração” que pode ser uma função de
, já que estamos integrando em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda derivada parcial fornecida para encontrar
:
Sabemos que
. Vamos derivar isso em relação a
:
Passo 5
Comparando as duas expressões para
:
Podemos ver que os termos
se cancelam dos dois lados, restando:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição simples.
Passo 7
Fazendo a substituição
, então
. Ajustando a integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Resposta
A função procurada é
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Desenhe a imagem de
em que
.
Trace a projeção da curva sobre o plano indicado.
, plano
Verifique que
é uma solução da equação de
ordem
, e prove que essa função e
são linearmente independente em
.
Verifique que
e
sen
são soluções linearmente independentes da equação
quando
e
.