Determine uma função f(x, y) tal que
l partial fpartial x=3 x^2 y^2-6 y partial fpartial y=2 x^3 y-6 x+yy^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar uma função tal que suas derivadas parciais sejam dadas. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos integrar as derivadas parciais fornecidas e garantir que elas sejam consistentes para formar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira derivada parcial em relação a partial fpartial x = 3x^2 y^2 - 6y :
Para encontrar , vamos integrar essa expressão em relação a . A integração de uma derivada parcial em relação a nos dá a função mais uma “constante de integração” que pode depender de .

Passo 3

Integrando f(x, y) = integral (3x^2 y^2 - 6y) , dx = y^2 x^3 - 6y x + g(y) em relação a :
Aqui, é a “constante de integração” que pode ser uma função de , já que estamos integrando em relação a .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda derivada parcial fornecida para encontrar partial fpartial y = 2x^3 y - 6x + yy^2 + 1 :
partial fpartial y = 2y x^3 - 6x + g'(y)
Sabemos que . Vamos derivar isso em relação a :

Passo 5

Comparando as duas expressões para 2y x^3 - 6x + g'(y) = 2x^3 y - 6x + yy^2 + 1 :
g'(y) = yy^2 + 1
Podemos ver que os termos se cancelam dos dois lados, restando:

Passo 6

Agora, vamos integrar g(y) = integral yy^2 + 1 , dy em relação a para encontrar :
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição simples.

Passo 7

Fazendo a substituição g(y) = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(y^2 + 1) + C , então . Ajustando a integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos f(x, y) = y^2 x^3 - 6y x + 12 ln(y^2 + 1) + C de volta na expressão de :

Resposta

A função procurada é
f(x, y) = y^2 x^3 - 6y x + 12 ln(y^2 + 1) + C
onde é uma constante.

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