Verifique que é uma solução da equação de ordem , e prove que essa função e são linearmente independente em .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que verificar se a função é uma solução da equação diferencial de segunda ordem dada por . Além disso, precisamos provar que as funções e são linearmente independentes no conjunto das funções contínuas em todo o intervalo dos números reais, ou seja, em .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais lineares, operadores diferenciais como (que representa a derivada em relação a ), e o conceito de independência linear de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação .
O operador representa a derivada em relação a . Então, significa aplicar a derivada e depois subtrair vezes a função original. Aplicar significa aplicar esse operador duas vezes.
Vamos aplicar em :
Calculando a derivada:
Então:
Agora, aplicamos novamente:
Portanto, , o que confirma que é de fato uma solução da equação diferencial dada.
Passo 3
Agora, vamos provar que as funções e são linearmente independentes em .
Duas funções são linearmente independentes se nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo escalar da outra. Para verificar isso, podemos usar o Wronskiano, que é uma ferramenta útil para testar a independência linear de soluções de equações diferenciais.
O Wronskiano de duas funções e é dado por:
Calculemos o Wronskiano para e :
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos no Wronskiano:
Como nunca é zero para nenhum valor de , o Wronskiano é sempre diferente de zero. Isso implica que as funções e são linearmente independentes em .
Resposta
Portanto, verificamos que é uma solução da equação diferencial e que as funções e são linearmente independentes em .