Trace a projeção da curva sobre o plano indicado.
, plano
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional definida pela função vetorial
. O plano sobre o qual queremos projetar essa curva é o plano
. Para resolver isso, vamos precisar saber como projetar uma curva em um plano específico.
Passo 2
A projeção de uma curva no plano
significa que vamos “ignorar” a componente
de cada ponto da curva. Isso acontece porque o plano
é definido por
, então qualquer ponto neste plano tem apenas coordenadas
e
.
Passo 3
Vamos escrever a função de projeção. Para cada valor de
, a projeção
será dada por:
Aqui, descartamos a componente
.
Passo 4
Agora, podemos expressar essa projeção de forma paramétrica. Temos:
Para tornar isso mais claro, podemos eliminar o parâmetro
para obter a equação cartesiana da projeção.
Passo 5
Para eliminar
, resolvemos a primeira equação para
:
Substituímos este valor na equação de
:
Então, a equação da projeção no plano
é
.
Resposta
A projeção da curva
sobre o plano
é a reta
.
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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Desenhe a imagem de
em que
.
Determine uma função
tal que