Trace a projeção da curva sobre o plano indicado. , plano

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional definida pela função vetorial . O plano sobre o qual queremos projetar essa curva é o plano . Para resolver isso, vamos precisar saber como projetar uma curva em um plano específico.

Passo 2

A projeção de uma curva no plano significa que vamos “ignorar” a componente de cada ponto da curva. Isso acontece porque o plano é definido por , então qualquer ponto neste plano tem apenas coordenadas e .

Passo 3

Vamos escrever a função de projeção. Para cada valor de , a projeção será dada por:
Aqui, descartamos a componente .

Passo 4

Agora, podemos expressar essa projeção de forma paramétrica. Temos:
Para tornar isso mais claro, podemos eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana da projeção.

Passo 5

Para eliminar , resolvemos a primeira equação para :
Substituímos este valor na equação de :
Então, a equação da projeção no plano é .

Resposta

A projeção da curva sobre o plano é a reta .

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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Desenhe a imagem de em que .
Determine uma função tal que