Determine se a função é uma transformação linear:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de transformações lineares, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. A questão pede para a gente verificar se a função
, definida por
, é ou não uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e aplicar esses conceitos nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
que vai de um espaço vetorial para outro é dita ser linear se ela preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, para quaisquer dois vetores
e
e para qualquer escalar
, a função deve satisfazer:
Essas duas propriedades são essenciais para que a transformação seja considerada linear.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, que é a preservação da adição. Seja
e
. Então:
Simplificando:
Agora, calculando
:
Observando, vemos que:
Então, a primeira propriedade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos conferir a segunda propriedade, que é a preservação da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então:
Fatorando o
:
Portanto:
Assim, a segunda propriedade também está satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é uma transformação linear.