Determine se a função é uma transformação linear: f: R^2 R^2, f(x, y)=(x+y, x-y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de transformações lineares, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. A questão pede para a gente verificar se a função , definida por , é ou não uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e aplicar esses conceitos nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função f(u + v) = f(u) + f(v) que vai de um espaço vetorial para outro é dita ser linear se ela preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, para quaisquer dois vetores f(cu) = c f(u) e e para qualquer escalar , a função deve satisfazer:
Essas duas propriedades são essenciais para que a transformação seja considerada linear.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, que é a preservação da adição. Seja f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) e = (x1 + x2 + y1 + y2, x1 + x2 - y1 - y2) . Então:
f(u) = (x1 + y1, x1 - y1)
Simplificando:
f(v) = (x2 + y2, x2 - y2)
Agora, calculando f(u) + f(v) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2) :
f(u + v) = f(u) + f(v)
Observando, vemos que:
Então, a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos conferir a segunda propriedade, que é a preservação da multiplicação por escalar. Seja f(cu) = f(c x, c y) = (c x + c y, c x - c y) um escalar e = c (x + y, x - y) = c f(u) . Então:
f(cu) = c f(u)
Fatorando o :
Portanto:
Assim, a segunda propriedade também está satisfeita.

Resposta

Sim, a função é uma transformação linear.

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