Sejam B=(1,-1),(0,2) e C=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) bases de R^2 e de R^3 respectivamente e [T]C^B=[rr1 & 0 1 & 1 0 & -1]. Determine uma base D de R^3 tal que [T]D^B=[ll1 & 0 0 & 0 0 & 1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me mandou fala sobre bases em espaços vetoriais e transformações lineares. Temos duas bases, para e para , e uma matriz que representa uma transformação linear de para nas bases e . O objetivo é encontrar uma nova base para tal que a matriz da transformação nas bases e seja uma matriz específica. Para resolver isso, vamos precisar entender como as mudanças de base funcionam e como ajustar a matriz da transformação linear conforme a nova base.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma transformação linear [T]C^B = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para os espaços de partida e chegada. A matriz [T]D^B = 1 & 0 0 & 0 0 & 1 nos diz como age nos vetores da base de para produzir vetores na base de . No nosso caso, temos:
Mas queremos encontrar uma nova base para tal que a matriz de nessa base seja:

Passo 3

Para encontrar a base [T]D^B = [T]C^B cdot P , precisamos entender como as mudanças de base afetam a representação matricial de . A relação entre as matrizes em diferentes bases é dada pela seguinte fórmula:
onde é a matriz de mudança de base de para , ou seja, ela transforma coordenadas de para . Nosso objetivo é encontrar tal que seja a matriz desejada.

Passo 4

Vamos montar a equação com as matrizes que temos:
1 & 0 0 & 0 0 & 1 = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 cdot P
Queremos resolver para . Para isso, precisamos encontrar a matriz que, quando multiplicada pela matriz , nos dá a matriz desejada .

Passo 5

Vamos chamar a matriz P = p11 & p12 p21 & p22 p31 & p32 de:
1 & 0 1 & 1 0 & -1 cdot p11 & p12 p21 & p22 p31 & p32 = 1 cdot p11 + 0 cdot p21 + 0 cdot p31 & 1 cdot p12 + 0 cdot p22 + 0 cdot p32 1 cdot p11 + 1 cdot p21 + 0 cdot p31 & 1 cdot p12 + 1 cdot p22 + 0 cdot p32 0 cdot p11 + (-1) cdot p21 + 0 cdot p31 & 0 cdot p12 + (-1) cdot p22 + 0 cdot p32
Multiplicando p11 = 1 p12 = 0 p11 + p21 = 0 p12 + p22 = 0 - p21 = 0 - p22 = 1 por , temos:
Igualando isso à matriz , temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. → Aqui percebemos que há uma inconsistência. Isso sugere que não existe uma matriz que satisfaça todas as equações simultaneamente, indicando que talvez tenhamos cometido um erro ou que a base procurada não existe sob essas condições.

Passo 7

Ao revisarmos os cálculos, percebemos que o sistema de equações é inconsistente, o que significa que não há uma base 1 & 0 0 & 0 0 & 1 que transforme na matriz desejada . Portanto, a conclusão é que não existe uma base em que satisfaça a condição dado o fornecido.

Resposta

Não existe uma base 1 & 0 0 & 0 0 & 1 de que satisfaça a condição para a transformação linear dada.

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