Sejam e bases de e de respectivamente e . Determine uma base D de R^3 tal que [T]D^B=[ll1 & 0 0 & 0 0 & 1].
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você me mandou fala sobre bases em espaços vetoriais e transformações lineares. Temos duas bases, para e para , e uma matriz que representa uma transformação linear de para nas bases e . O objetivo é encontrar uma nova base para tal que a matriz da transformação nas bases e seja uma matriz específica. Para resolver isso, vamos precisar entender como as mudanças de base funcionam e como ajustar a matriz da transformação linear conforme a nova base.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma transformação linear [T]C^B = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para os espaços de partida e chegada. A matriz [T]D^B = 1 & 0 0 & 0 0 & 1 nos diz como age nos vetores da base de para produzir vetores na base de . No nosso caso, temos:
Mas queremos encontrar uma nova base para tal que a matriz de nessa base seja:
Passo 3
Para encontrar a base [T]D^B = [T]C^B cdot P , precisamos entender como as mudanças de base afetam a representação matricial de . A relação entre as matrizes em diferentes bases é dada pela seguinte fórmula:
onde é a matriz de mudança de base de para , ou seja, ela transforma coordenadas de para . Nosso objetivo é encontrar tal que seja a matriz desejada.
Passo 4
Vamos montar a equação com as matrizes que temos:
1 & 0 0 & 0 0 & 1 = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 cdot P
Queremos resolver para . Para isso, precisamos encontrar a matriz que, quando multiplicada pela matriz , nos dá a matriz desejada .
Passo 5
Vamos chamar a matriz P = p11 & p12 p21 & p22 p31 & p32 de:
Igualando isso à matriz , temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
→ Aqui percebemos que há uma inconsistência. Isso sugere que não existe uma matriz que satisfaça todas as equações simultaneamente, indicando que talvez tenhamos cometido um erro ou que a base procurada não existe sob essas condições.
Passo 7
Ao revisarmos os cálculos, percebemos que o sistema de equações é inconsistente, o que significa que não há uma base 1 & 0 0 & 0 0 & 1 que transforme na matriz desejada . Portanto, a conclusão é que não existe uma base em que satisfaça a condição dado o fornecido.
Resposta
Não existe uma base 1 & 0 0 & 0 0 & 1 de que satisfaça a condição para a transformação linear dada.