Determine a transformação T: R^2 R^2 que é uma reflexão em torno da reta x=y. Escreva-a na forma matricial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a transformação que reflete qualquer ponto em torno da reta . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente transformações lineares e matrizes de transformação. Para resolver, vamos precisar entender como uma reflexão funciona e como representá-la usando uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reflexão em torno da reta . Imagine que você tem um ponto no plano, e quer “espelhar” esse ponto do outro lado da reta . A reta é uma linha onde, para qualquer ponto, as coordenadas e são iguais. Quando refletimos um ponto sobre essa reta, basicamente estamos trocando suas coordenadas.

Passo 3

Vamos pegar um ponto genérico no plano. Ao refletir esse ponto sobre a reta , suas coordenadas vão trocar, ou seja, o ponto refletido será . Isso significa que a transformação leva para .

Passo 4

Agora, para representar essa transformação de forma matricial, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada pelo vetor a b , resulta no vetor b a . Vamos chamar essa matriz de A = m & n p & q :
a b
Multiplicando m & n p & q a b = m cdot a + n cdot b p cdot a + q cdot b = b a pelo vetor m cdot a + n cdot b = b p cdot a + q cdot b = a , temos:
m = 0, n = 1, p = 1, q = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
Para que isso seja verdadeiro para todo e , precisamos que:

Resposta

A matriz que representa a reflexão em torno da reta 0 & 1 1 & 0 é:

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