Determine a transformação
que é uma reflexão em torno da reta
. Escreva-a na forma matricial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a transformação
que reflete qualquer ponto em torno da reta
. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente transformações lineares e matrizes de transformação. Para resolver, vamos precisar entender como uma reflexão funciona e como representá-la usando uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reflexão em torno da reta
. Imagine que você tem um ponto no plano, e quer “espelhar” esse ponto do outro lado da reta
. A reta
é uma linha onde, para qualquer ponto, as coordenadas
e
são iguais. Quando refletimos um ponto sobre essa reta, basicamente estamos trocando suas coordenadas.
Passo 3
Vamos pegar um ponto genérico
no plano. Ao refletir esse ponto sobre a reta
, suas coordenadas vão trocar, ou seja, o ponto refletido será
. Isso significa que a transformação
leva
para
.
Passo 4
Agora, para representar essa transformação de forma matricial, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada pelo vetor
, resulta no vetor
. Vamos chamar essa matriz de
:
Multiplicando
pelo vetor
, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Para que isso seja verdadeiro para todo
e
, precisamos que:
Resposta
A matriz que representa a reflexão em torno da reta
é: