como soma de uma solução particular para A x=b e a solução geral para A x=0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear onde a matriz A é:
A = 1 & 2 & 2 2 & 4 & 5
e o vetor b é:
b = 1 4
Queremos encontrar a solução geral para A x = b, expressa como a soma de uma solução particular para A x = b e a solução geral para A x = 0. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, solução particular e espaço nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma solução particular para A x = b. Isso significa encontrar valores de u, v e w que satisfazem o sistema:
1u + 2v + 2w = 1 2u + 4v + 5w = 4
Vamos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
2u + 4v + 4w = 2 2u + 4v + 5w = 4
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2u + 4v + 5w) - (2u + 4v + 4w) = 4 - 2 w = 2
Passo 3
Agora que encontramos w = 2, vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar u e v:
u + 2v + 2(2) = 1 u + 2v + 4 = 1 u + 2v = -3
Essa é uma equação com duas variáveis, o que significa que podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos isolar u:
u = -3 - 2v
Passo 4
Então, uma solução particular para o sistema A x = b é:
up = -3 - 2v vp = v wp = 2
Aqui, escolhemos v = 0 para simplificar, então:
up = -3 vp = 0 wp = 2
Portanto, a solução particular é:
xp = -3 0 2
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução geral para o sistema homogêneo A x = 0. Isso significa resolver:
1u + 2v + 2w = 0 2u + 4v + 5w = 0
Vamos seguir um procedimento semelhante. Multiplicamos a primeira equação por 2:
2u + 4v + 4w = 0 2u + 4v + 5w = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2u + 4v + 5w) - (2u + 4v + 4w) = 0 - 0 w = 0
Passo 6
Com w = 0, substituímos na primeira equação:
u + 2v + 2(0) = 0 u + 2v = 0 u = -2v
Portanto, a solução geral para A x = 0 é:
xh = -2v v 0 = v -2 1 0
onde v é um parâmetro livre.
Resposta
A solução geral para A x = b é a soma da solução particular xp e da solução geral do sistema homogêneo xh: