Determine se a função é uma transformação linear:
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a função
é uma transformação linear. Estamos lidando com matrizes 2x2 e a função está calculando o determinante dessas matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se a função
segue as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer duas matrizes
e
, e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa função
.
Passo 3
Vamos começar verificando a adição. Precisamos ver se
.
Vamos considerar duas matrizes qualquer
e
:
A soma delas é:
Agora, calculamos os determinantes:
Expandindo
:
Comparando com
:
Vemos que
tem termos extras (
) que não estão em
. Portanto,
.
Passo 4
Como a propriedade da adição não é satisfeita, já podemos concluir que a função
não é uma transformação linear. Não precisa verificar a homogeneidade, pois basta uma das propriedades falhar para que a função não seja linear.
Resposta
A função
que calcula o determinante de matrizes 2x2 não é uma transformação linear.