Determine se a função é uma transformação linear: h: M2 R, h([lla & c b & d])=det[lla & c b & d].

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a função é uma transformação linear. Estamos lidando com matrizes 2x2 e a função está calculando o determinante dessas matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se a função segue as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer duas matrizes e , e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa função .

Passo 3

Vamos começar verificando a adição. Precisamos ver se A = a & c b & d , B = e & g f & h .
Vamos considerar duas matrizes qualquer A + B = a + e & c + g b + f & d + h e h(A + B) = det(A + B) = (a + e)(d + h) - (c + g)(b + f) :
h(A) + h(B) = det(A) + det(B) = (ad - bc) + (eh - fg)
A soma delas é:
(a + e)(d + h) - (c + g)(b + f) = ad + ah + ed + eh - bc - bf - gc - gf
Agora, calculamos os determinantes:
(ad - bc) + (eh - fg) = ad + eh - bc - fg
Expandindo :
Comparando com :
Vemos que tem termos extras ( ) que não estão em . Portanto, .

Passo 4

Como a propriedade da adição não é satisfeita, já podemos concluir que a função não é uma transformação linear. Não precisa verificar a homogeneidade, pois basta uma das propriedades falhar para que a função não seja linear.

Resposta

A função que calcula o determinante de matrizes 2x2 não é uma transformação linear.

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