Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
A calha e o parabolóide ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função vetorial que represente a curva formada pela interseção das superfícies (que é uma calha parabólica) e (um parabolóide). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
Calha : É uma superfície que se abre para cima no eixo , formando uma parábola ao longo do eixo .
Parabolóide : Podemos rearranjar essa equação para , que descreve uma superfície parabólica que se abre para cima no .
Passo 3
Queremos encontrar a curva onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, vamos igualar as duas expressões de :
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre e :
Passo 5
Observando a última equação , percebemos que o lado esquerdo é negativo ou zero (já que é sempre não negativo) e o lado direito é sempre não negativo (porque também é não negativo). A única forma dessa igualdade ser verdadeira é se ambos os lados forem zero:
Passo 6
Com e , podemos encontrar usando qualquer uma das equações das superfícies. Vamos usar :
Resposta
A curva de interseção é o ponto . A função vetorial que a representa é: