Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
A calha z = x^2 e o parabolóide 4 x^2 + y^2 - z = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função vetorial que represente a curva formada pela interseção das superfícies (que é uma calha parabólica) e (um parabolóide). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
  1. Calha : É uma superfície que se abre para cima no eixo , formando uma parábola ao longo do eixo .
  2. Parabolóide : Podemos rearranjar essa equação para , que descreve uma superfície parabólica que se abre para cima no .

Passo 3

Queremos encontrar a curva onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, vamos igualar as duas expressões de :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre e :

Passo 5

Observando a última equação , percebemos que o lado esquerdo é negativo ou zero (já que é sempre não negativo) e o lado direito é sempre não negativo (porque também é não negativo). A única forma dessa igualdade ser verdadeira é se ambos os lados forem zero:

Passo 6

Com e , podemos encontrar usando qualquer uma das equações das superfícies. Vamos usar :

Resposta

A curva de interseção é o ponto . A função vetorial que a representa é:

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Quais equações são de variáveis separáveis y' - 2x = y
Determine os pontos em que a curva r(t) = (t, 0, 2t - t^2) intersepta o parabolóide z = x^2 + y^2.
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
O parabolóide z = x^2 + y^2 e o plano z = 2 + y;
Quais equações são de variáveis separáveis y' = x^2 / (1 - y^2)