Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
A calha
e o parabolóide
;
A calha
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função vetorial que represente a curva formada pela interseção das superfícies
(que é uma calha parabólica) e
(um parabolóide). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
-
Calha
: É uma superfície que se abre para cima no eixo , formando uma parábola ao longo do eixo . -
Parabolóide
: Podemos rearranjar essa equação para , que descreve uma superfície parabólica que se abre para cima no .
Passo 3
Queremos encontrar a curva onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, vamos igualar as duas expressões de
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre
e
:
Passo 5
Observando a última equação
, percebemos que o lado esquerdo é negativo ou zero (já que
é sempre não negativo) e o lado direito é sempre não negativo (porque
também é não negativo). A única forma dessa igualdade ser verdadeira é se ambos os lados forem zero:
Passo 6
Com
e
, podemos encontrar
usando qualquer uma das equações das superfícies. Vamos usar
:
Resposta
A curva de interseção é o ponto
. A função vetorial que a representa é: