Quais equações são de variáveis separáveis y' = x^2 / (1 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O conteúdo aqui é Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis. Vamos precisar separar as variáveis e para conseguir integrar os dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação ser de variáveis separáveis. Isso quer dizer que podemos escrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e todos os termos com fiquem do outro lado. No nosso caso, temos:
Podemos rearranjar isso multiplicando ambos os lados por e por :
Agora, as variáveis estão separadas: de um lado e do outro.

Passo 3

Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos resolver as integrações:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:

Passo 5

Igualando as duas integrais e agrupando as constantes e em uma única constante , temos:
Podemos multiplicar todos os termos por 3 para simplificar:
Onde é apenas uma nova constante de integração.

Passo 6

Para deixar a solução mais organizada, podemos escrever:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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