Quais equações são de variáveis separáveis
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis. Vamos precisar separar as variáveis
e
para conseguir integrar os dois lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação ser de variáveis separáveis. Isso quer dizer que podemos escrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e todos os termos com
fiquem do outro lado. No nosso caso, temos:
Podemos rearranjar isso multiplicando ambos os lados por
e por
:
Agora, as variáveis estão separadas:
de um lado e
do outro.
Passo 3
Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver as integrações:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 5
Igualando as duas integrais e agrupando as constantes
e
em uma única constante
, temos:
Podemos multiplicar todos os termos por 3 para simplificar:
Onde
é apenas uma nova constante de integração.
Passo 6
Para deixar a solução mais organizada, podemos escrever:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é uma constante de integração.
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;
O parabolóide
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;
A calha
Determine os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem.
Resolver as equações diferenciais