Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
O parabolóide z = x^2 + y^2 e o plano z = 2 + y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função vetorial que representa a curva formada pela interseção das duas superfícies: o parabolóide e o plano . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para encontrar as coordenadas que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, como estamos buscando a interseção das duas superfícies, vamos igualar as duas expressões para :
Isso vai nos ajudar a encontrar uma relação entre e que descreve a curva de interseção.

Passo 3

Agora, vamos rearranjar essa equação para simplificar:
Para facilitar a resolução, vamos completar o quadrado em relação a . Para isso, olhamos para os termos que envolvem :
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -1, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos na equação:

Passo 4

Agora, a parte que envolve fica:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Observamos que essa é a equação de um círculo com centro em e raio . Para parametrizar essa curva, vamos usar um parâmetro , que geralmente representa o ângulo em coordenadas polares.
Então, temos:

Passo 6

Agora, para encontrar , usamos a equação do plano . Substituindo :

Resposta

Assim, a função vetorial que representa a curva de interseção é:

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Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
A calha z = x^2 e o parabolóide 4 x^2 + y^2 - z = 0;
Quais equações são de variáveis separáveis y' - 2x = y
Quais equações são de variáveis separáveis y' = x^2 / (1 - y^2)
Determine os pontos da superfície x^2 - y*z = 5 que estão mais próximos da origem.