Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
O parabolóide
e o plano
;
O parabolóide
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função vetorial que representa a curva formada pela interseção das duas superfícies: o parabolóide
e o plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para encontrar as coordenadas que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, como estamos buscando a interseção das duas superfícies, vamos igualar as duas expressões para
:
Isso vai nos ajudar a encontrar uma relação entre
e
que descreve a curva de interseção.
Passo 3
Agora, vamos rearranjar essa equação para simplificar:
Para facilitar a resolução, vamos completar o quadrado em relação a
. Para isso, olhamos para os termos que envolvem
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -1, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos
na equação:
Passo 4
Agora, a parte que envolve
fica:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Observamos que essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
. Para parametrizar essa curva, vamos usar um parâmetro
, que geralmente representa o ângulo em coordenadas polares.
Então, temos:
Passo 6
Agora, para encontrar
, usamos a equação do plano
. Substituindo
:
Resposta
Assim, a função vetorial que representa a curva de interseção é:
Exercícios relacionados
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
A calha e o parabolóide
;
A calha
Quais equações são de variáveis separáveis
Quais equações são de variáveis separáveis
Determine os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem.