Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
O cilindro e o cone .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função vetorial que descreva a curva formada quando a superfície de um cilindro se cruza com a superfície de um cone . Para isso, vamos precisar usar geometria analítica e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
Cilindro: é a equação de um cilindro circular com raio 2, alinhado ao eixo . Isso significa que, para qualquer valor de , a projeção no plano será um círculo de raio 2.
Cone: é a equação de um cone com vértice na origem e que se abre igualmente em todas as direções a partir do eixo .
Para parametrizar a curva de interseção, vamos usar coordenadas polares no plano , já que o cilindro tem simetria circular.
Passo 3
Vamos parametrizar o cilindro usando um ângulo :
Aqui, varia de a para percorrer todo o círculo do cilindro.
Agora, substituímos e na equação do cone para encontrar :
Então, implica que .
Passo 4
Agora, juntando tudo, temos duas possibilidades para :
Portanto, as funções vetoriais que representam as curvas de interseção são:
onde .
Resposta
A função vetorial que representa a curva de interseção é dada por: